在拓撲和相關分支數學，一個拓撲空間可以被定義為一組的點，與一組沿社區對于每個點，滿足一組公理有關點和社區。拓撲空間的定義僅依賴于集合論，并且是數學空間的最通用概念，它允許定義諸如連續性，連通性和收斂性等概念。其他空間，例如歧管和度量空間是具有額外結構或約束的拓撲空間的專業化。拓撲空間是如此籠統，是中心統一概念，并且幾乎出現在現代數學的每個分支中。自行研究拓撲空間的數學分支稱為點集拓撲或一般拓撲。

可以將各種拓撲放在一組上以形成拓撲空間。當拓撲每一套τ?₁也是拓撲τ?₂和τ?₁的一個子集τ?₂，我們說τ?₂是細比τ?₁和τ?₁是粗糙的比τ?₂。僅依賴于某些開放集的存在的證明也適用于任何更精細的拓撲，類似地，僅依賴于某些未開放集的證明適用于任何較粗糙的拓撲。術語較大和有時分別使用較小的代替較細的。文獻中也使用了“更強”和“更弱”兩個術語，但是在含義上幾乎沒有一致，因此在閱讀時應始終確保作者的約定。

上給定的固定集合中的所有拓撲的集合X形成一個完整的晶格：如果?F?= {?τ?_α?|?α＆Element;甲}是拓撲的集合X，則滿足的?F是的交點?F，和加入的?F是所有拓撲的集合的滿足X包含的每一個成員?F。

函數??F??：X?→?y拓撲空間之間被稱為連續，若對所有X中X和每個街區?的?F（X）有一個附近中號的X，使得?F（中號）???。這很容易與分析中的通常定義有關。等效地，如果每個開放集的反像都是開放的，則f是連續的。這是一種嘗試，以了解函數中沒有“跳轉”或“分離”的直覺。甲同胚是一個雙射是連續的并且其逆也是連續的。兩個空間稱為同構，如果它們之間存在一個同胚。從拓撲的觀點來看，同胚空間本質上是相同的。

在范疇論，頂部，該拓撲空間范疇與拓撲空間為對象，并連續函數為態射，是根本的一個類別。嘗試通過不變量對此類對象進行分類（直到同胚），這激發了研究領域，例如同倫論，同源論和K-理論。

給定的集合可能具有許多不同的拓撲。如果給定集合不同的拓撲，則將其視為不同的拓撲空間。可以給任何集合以離散拓撲，其中每個子集都是開放的。該拓撲中xxx的收斂序列或網絡是最終恒定的序列或網絡。同樣，任何集合都可以被賦予瑣碎的拓撲（也稱為離散拓撲），其中只有空集合和整個空間是開放的。此拓撲中的每個序列和網絡都收斂到空間的每個點。此示例表明，在一般拓撲空間中，序列的限制不必xxx。但是，拓撲空間通常必須是極限點xxx的Hausdorff空間。

可以為拓撲空間的每個子集提供子空間拓撲，其中開放集是較大空間的開放集與子集的交集。對于任何索引族的拓撲空間，可以為乘積指定乘積拓撲，該乘積拓撲是由投影映射下的因子的開放集的逆圖像生成的。例如，在有限產品中，產品拓撲的基礎由開放集的所有產品組成。對于無限的產品，還存在一個額外的要求，即在一個基本的開放集中，幾乎所有其投影都將是整個空間。

甲商空間被定義為如下：如果X是一個拓撲空間和?是一組，并且如果?F??：X?→?y是一個滿射?函數，然后在商拓撲?是子集的集合?具有開放逆圖像在f下。換句話說，商拓撲是最細拓撲?為其?F是連續的。商拓撲的一個常見示例是在拓撲空間X上定義了等價關系。地圖那么f是對等價類集的自然投影。

該Vietoris拓撲結構上設定一個拓撲空間的所有非空子集的X，命名為萊奧波德·維托里斯，由下面的基礎上產生的：每?元組ü?₁，...，ü?_?的開集在X，我們構建了一個基集，該基集由U?_i的并集的所有子集組成，這些子集與每個U?_i具有非空交集。

在費爾拓撲上的集的所有非空閉子集的局部緊?波蘭空間?X是Vietoris拓撲的一個變種，并命名后的數學家詹姆斯下跌。它是由下列基礎生成的：每?元組ü?₁，...，ü?_?的開集在X和每個緊集?，集合的所有子集的X是不相交?和具有非空交叉點每個U?_i都是基礎的成員。

拓撲空間可以根據其拓撲性質大致分類，直至同胚。拓撲性質是在同胚性下不變的空間性質。為了證明兩個空間不是同胚的，找到它們不共享的拓撲性質就足夠了。此類屬性的示例包括連接性，緊致性和各種分離公理。有關代數不變量的信息。

對于任何代數對象，我們都可以引入離散拓撲，在該拓撲下，代數運算是連續函數。對于任何這種不是有限的結構，在代數運算仍然是連續的意義上，我們經常具有與代數運算兼容的自然拓撲。這導致了諸如拓撲組、拓撲向量空間、拓撲環和局部場等概念。