數學模型是一個描述系統采用的數學概念和語言。開發數學模型的過程稱為數學建模。數學模型用于自然科學（如物理學、生物學、地球科學、化學）和工程學科（如計算機科學、電氣工程）以及非物理系統，如社會科學（如經濟學）。數學模型也用于音樂、語言學、哲學（例如，深入分析哲學。

模型可能有助于解釋系統和研究不同組件的影響，以及對行為進行預測。

數學模型可以采用多種形式，包括動力系統、統計模型、微分方程或博弈論模型。這些和其他類型的模型可以重疊，給定的模型涉及各種抽象結構。通常，數學模型可以包括邏輯模型。在許多情況下，科學領域的質量取決于在理論方面開發的數學模型與可重復實驗結果的一致性。隨著更好的理論的發展，理論數學模型和實驗測量之間缺乏一致性通常會導致重要的進步。

在物理科學中，傳統的數學模型包含以下大部分要素：

1. 控制方程
2. 補充子模型
   1. 定義方程
   2. 本構方程
3. 假設和限制
   1. 初始和邊界條件
   2. 經典約束和運動學方程

數學模型通常由關系和變量組成。關系可以通過算子來描述，例如代數算子、函數、微分算子等。變量是感興趣的系統參數的抽象，可以量化。

根據數學模型的結構，可以使用幾種分類標準：

• 線性與非線性的：如果在一個數學模型顯示出所有運營商的線性度，所得到的數學模型被定義為線性的。否則，模型被認為是非線性的。線性和非線性的定義取決于上下文，線性模型中可能有非線性表達式。例如，在統計線性模型中，假設參數之間的關系是線性的，但預測變量中的關系可能是非線性的。類似地，如果一個微分方程可以用線性微分算子寫成，則稱它是線性的，但它仍然可以有非線性表達式。在數學規劃中模型，如果目標函數和約束完全由線性方程表示，則該模型被視為線性模型。如果一個或多個目標函數或約束用非線性方程表示，則該模型稱為非線性模型。線性結構意味著可以將問題分解為更簡單的部分，這些部分可以獨立處理和/或以不同的規模進行分析，并且在重新組合和重新調整規模時，獲得的結果對于初始問題仍然有效。非線性，即使在相當簡單的系統中，也常常與混沌和不可逆等現象有關.盡管有例外，非線性系統和模型往往比線性系統和模型更難研究。非線性問題的一種常見方法是線性化，但如果試圖研究與非線性密切相關的不可逆性等方面，這可能會出現問題。
• 靜態與動態：甲動態模型占該系統的狀態隨時間的變化，而靜態（或穩態）模型計算系統處于平衡狀態，并且因此是不隨時間變化。動態模型通常由微分方程或差分方程表示。
• 顯式vs.隱式：如果整個模型的所有輸入參數都是已知的，并且輸出參數可以通過一系列有限的計算來計算，則稱該模型是顯式的。但有時輸出參數是已知的，相應的輸入必須通過迭代過程求??解，例如牛頓法或布羅伊登法。在這種情況下，模型被認為是隱式的。例如，在給定設計熱力循環的情況下，可以明確計算噴氣發動機的物理特性，例如渦輪和噴嘴喉部面積。（空氣和燃料流量、壓力和溫度）在特定飛行條件和功率設置下，但發動機在其他飛行條件和功率設置下的運行周期無法從恒定的物理屬性中明確計算出來。
• 離散，連續：甲離散模型治療對象作為離散的，諸如在顆粒分子模型或在狀態統計模型;而連續模型以連續方式表示對象，例如管流中的流體速度場、固體中的溫度和應力，以及由于點電荷而在整個模型上連續施加的電場。
• 確定性與概率（隨機）：甲確定性模型是其中每一個組可變狀態xxx地由在模型和由多組這些變量的先前狀態的參數來確定;因此，對于一組給定的初始條件，確定性模型總是以相同的方式執行。相反，在隨機模型（通常稱為“統計模型”）中存在隨機性，并且變量狀態不是由xxx值描述的，而是由概率分布描述的。
• 演繹、歸納或浮動：A演繹模型是基于理論的邏輯結構。歸納模型源于經驗發現和對它們的概括。浮動模型既不依賴于理論，也不依賴于觀察，而僅僅是對預期結構的調用。數學在經濟學以外的社會科學中的應用因沒有根據的模型而受到批評。中的應用突變理論在科學已經被表征為浮動模型。
• 博弈論中使用的戰略與非戰略模型在某種意義上是不同的，它們對具有不相容激勵的代理進行建模，例如競爭物種或拍賣中的投標人。戰略模型假設參與者是自主決策者，他們理性地選擇最大化其目標函數的行動。使用戰略模型的一個關鍵挑戰是定義和計算解決方案概念，例如納什均衡。戰略模型的一個有趣特性是它們將關于游戲規則的推理與關于玩家行為的推理分開。

在商業和工程中，數學模型可用于xxx化某個輸出。所考慮的系統將需要某些輸入。將輸入與輸出相關聯的系統也取決于其他變量：決策變量、狀態變量、外生變量和隨機變量。

決策變量有時也稱為自變量。外生變量有時稱為參數或常量。由于狀態變量依賴于決策、輸入、隨機和外生變量，因此變量不是相互獨立的。此外，輸出變量取決于系統的狀態（由狀態變量表示）。

系統及其用戶的目標和約束可以表示為輸出變量或狀態變量的函數。該目標函數將取決于模型的用戶的角度。根據上下文，目標函數也稱為性能指標，因為它是用戶感興趣的某種度量。盡管模型可以具有的目標函數和約束的數量沒有限制，但隨著數量的增加，使用或優化模型變得更加復雜（在計算上）。

例如，經濟學家在使用投入產出模型時經常應用線性代數。具有許多變量的復雜數學模型可以通過使用向量來合并，其中一個符號代表多個變量。

數學模型在自然科學中非常重要，特別是在物理學中。物理理論幾乎總是使用數學模型來表達。

縱觀歷史，越來越多的精確數學模型被開發出來。牛頓定律準確地描述了許多日常現象，但在一定限度內必須使用相對論和量子力學。

在物理學中使用理想化模型來簡化事物是很常見的。無質量繩索、點粒子、理想氣體和盒子中的粒子是物理學中使用的許多簡化模型之一。物理定律用簡單的方程表示，如牛頓定律、麥克斯韋方程和薛定諤方程。這些定律是建立真實情況數學模型的基礎。許多實際情況非常復雜，因此在計算機上建模近似，計算上可行的模型是由基本定律制成的或由基本定律制成的近似模型。例如，分子可以通過分子軌道建模模型是薛定諤方程的近似解。在工程中，物理模型往往是通過有限元分析等數學方法建立的。

不同的數學模型使用不同的幾何形狀，這些幾何形狀不一定準確描述宇宙的幾何形狀。歐幾里得幾何在經典物理學中被大量使用，而狹義相對論和廣義相對論是使用非歐幾里得幾何的理論的例子。

通常，當工程師分析要控制或優化的系統時，他們會使用數學模型。在分析中，工程師可以構建系統的描述性模型，作為系統如何工作的假設，或者嘗試估計不可預見的事件如何影響系統。同樣，在控制系統時，工程師可以在仿真中嘗試不同的控制方法。

數學模型通常通過一組變量和一組建立變量之間關系的方程來描述系統。變量可能有多種類型；例如，實數或整數、布爾值或字符串。變量代表系統的一些屬性，例如，測量的系統輸出通常以信號、定時數據、計數器和事件發生（是/否）的形式出現。實際模型是描述不同變量之間關系的函數集。