角動量

角動量（angular momentum），又稱動量矩，描述物體轉動狀態的物理量。

自從開普勒提出了他的第二行星運動定律，人們就已獲知，在相同的時間間隔內，太陽和行星之間的連線掃過的面積是相等的。牛頓提出了獨特的幾何證明，進一步證實了太陽引力的吸引力是導致所有開普勒定律的原因。在《原理》一書中，牛頓在討論第一運動定律的例子時，暗示了角動量的概念。他通過對面積定律的幾何證明，間接證明了在受到中心力的情況下，角動量是守恒的。萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）、丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）和帕特里克·達西都（Patrick Darcy）都從面速度守恒的角度理解角動量。1736?年，歐拉像牛頓一樣，在《力學》一書中提到了一些角動量方程，但并未對這些方程進行進一步的探討。 伯努利在1744 年的一封信中寫到了“旋轉運動的力矩”，這可能是我們現在理解的第一個角動量概念。1799 年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)首次意識到固定平面與旋轉相關——拉普拉斯不變平面。路易·波因索（Louis Poinsot）于1803年開始將旋轉表示為垂直于旋轉的線段，并詳細闡述了“力矩守恒”。威廉·蘭金（William Rankine）在1858 年的《應用力學手冊》首次定義了現代意義上的角動量：一條線，其長度與角動量的大小成正比，其方向垂直于物體和固定點的運動平面。當從線的末端觀察物體的運動時，物體的半徑矢量符合右螺旋法則。

角動量是一個矢量（更準確地說，是偽矢量），表示物體繞特定軸的旋轉慣量和旋轉速度（以弧度/秒為單位）的乘積。然而，如果粒子的軌跡位于單個平面內，則可以忽略角動量的矢量性質，并將其視為標量（更準確地說，偽標量）。角動量可以被認為是線性動量在旋轉過程中的表現。因此，正如線性動量

與質量

和線速度

成正比，

，角動量

與轉動慣量

和以弧度/秒為單位的角速度

成正比，

。與僅取決于物體數量的質量不同，轉動慣量還取決于旋轉軸的位置和物體密度的分布。與不依賴于原點選擇的線速度不同，軌道角速度的測量始終是相對于一個固定的原點進行的。因此，嚴格來說，

應該是指相對于該中心的角動量。對于單個粒子的圓周運動，我們可以使用

和

將角動量化簡為：

。如果使用垂直于半徑向量的運動分量，這一簡單的分析也適用于非圓周運動：

,其中

是運動的垂直分量。重新排列，代入到原式，得到：

，其中

是力臂的長度，是從原點垂直落到粒子路徑上的一條線。術語動量矩定義為力臂長度與線性動量的叉積。

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三分鐘了解角動量（來源：中科院物理所)

若物體運動時有一點固定不動，則相對于該點的總角動量L為：

，其中

、

、

分別是質點i的質量、相對該點的距離矢量以及速度。由于

是一個相對于物體的固定矢量，所以，相對于空間坐標系的速度

完全由剛體繞固定點的轉動所引起。因此上式可以寫成：

，把三重矢積展開，即有：

，再次展開，角動量的x分量為：

。角動量的每一個分量都是角速度的所有分量的線性函數，角動量矢量通過線性變換與角速度矢量相關聯。為了強調其與線性變換式的相似性，我們可以將角動量的x分量寫成：

，

等九個系數是變換矩陣的九個元素，其中對角元就是通常所說的轉動慣量系數，其形式為：

，而那些非對角元則稱為慣量積：

。對連續體來說，應以體積分代替求和，而質點質量應該為質量密度。因此，如果用

表示坐標軸，則矩陣元

能表示為：

。

在軌道力學計算中，質量通常并不重要，因為物體的運動是由重力決定的。系統的主體通常比周圍運動的任何物體都大得多，因此可以忽略較小物體對其的引力影響；實際上，它保持恒定的速度。無論質量如何，所有物體的運動都以相同的方式受到重力的影響，因此在相同的條件下，所有物體的運動方式大致相同。在天體動力學和天體力學中，與角動量密切相關的量被定義為：

，稱為比角動量。注意

。

對于粒子系統，總角動量只是各個粒子角動量的總和，并且質心是系統的質心。在笛卡爾坐標系中：

，其中x、y、z分別為粒子相對于原點在x軸、y軸、z軸方向的距離，

、

、

分別為粒子在各個方向上的動量分量，

、

、

分別是笛卡爾坐標系中的三個單位向量，表示各個坐標軸的方向，

用于計算兩個向量的叉積。即：

，其中

表示粒子在xy平面上的角動量。角速度也可以定義為反對稱二階張量，其分量為

，表示粒子在i和j方向上的角速度。兩個反對稱張量之間的關系由轉動慣量給出，轉動慣量現在必須是一個四階張量：

，其中

表示粒子在旋轉過程中各個方向上的慣性力矩，四個指標i、j、k、l可以取x、y、z，表示粒子上三個相互正交的坐標系，

表示粒子在各個方向上的轉動慣量。在相對論力學中，粒子的相對論角動量表示為二階反對稱張量：

，用四個矢量表示，即四個位置的

和四個動量的

，并將上述

與質矩（粒子的相對論質量與其質心的乘積）納入其中。這樣的表示可以被認為是對物體質心運動的描述，因為在廣義相對論中，質能是守恒的。

在電磁體系中，電磁場對帶電體的作用力為：

，其中

為帶電體電荷分布，

為電場，

為磁流密度，

為磁場，

為帶電體體積元。故力矩為：

。

牛頓第三運動定律的旋轉模擬可以這樣寫：“在封閉系統中，如果不對其他物質施加繞同一軸的相等且相反的扭矩，則任何物質都不能施加扭矩。” 因此，角動量可以在封閉系統中的物體之間進行交換，但交換前后的總角動量保持不變（守恒）。從另一個角度來看，牛頓第一運動定律的旋轉類比可以寫成：“除非受到外部影響，否則剛體將繼續處于勻速旋轉狀態。” 因此，在沒有外部影響作用的情況下，系統的原始角動量保持恒定。諾特定理指出，每個守恒定律都與基礎物理的對稱性（不變量）相關。與角動量守恒相關的對稱性是旋轉不變性。如果一個系統繞軸旋轉任何角度，其物理性質都不會改變，則意味著角動量是守恒的。角動量守恒定律也可以從牛頓第二定律中推導出來。假設某一剛體由大量質點組成，某時刻角速度為

，角加速度為

。現研究質量為

、距轉軸垂直距離為

的任意質點k，作用在k上的力可以分為外力

（來自剛體以外一切力的合力）以及內力

（來自剛體以內各質點對質點k作用力的合力），按牛頓第二定律，有：

，

剛體繞軸旋轉

將兩邊投影到質點k圓軌跡切線方向，有：

，對兩邊乘以

，并對整個剛體求和，則有：

，其中等式右邊第一項為合外力矩，第二項為所有內力對旋轉軸的力矩總和。由于內力成對出現，而且大小相等、方向相反，因此所有內力對旋轉軸的力矩總和恒等于0。

在拉格朗日力學中，圍繞給定軸旋轉的角動量是圍繞同一軸的角度的廣義坐標和共軛動量：

，其中

是圍繞z軸旋轉角度對時間的導數，即角速度

。通常，拉格朗日量可以表示為動能與角速度的函數。對于密度為

非點狀物體，在其物體區域上進行積分，有：

。

經典上，一個粒子的軌道角動量（相對于原點）由下式給出：

,其中p是物體的動量。其在各個方向的分量

、

、

分別為，

，其中x、y、z分別為粒子相對于原點在x軸、y軸、z軸方向的距離，

、

、

分別為粒子在各個方向上的動量分量。對應的量子算符由

，

，

得到，其中

為約化普朗克常數，

為虛數。在量子物理學中，還有另一種角動量，稱為自旋角動量，用自旋算子

表示。自旋通常被描述為繞軸旋轉的粒子，但事實上，自旋是粒子的固有屬性，與空間中的任何運動無關，并且與軌道角動量有著根本的不同。所有基本粒子都具有特征自旋（可能為零），并且幾乎所有基本粒子都具有非零自旋。對于一個粒子，總角動量

結合了所有粒子和場的自旋角動量和軌道角動量。角動量守恒適用于

，但不適用于

或

。例如，自旋軌道相互作用允許角動量在

和

之間來回轉移，而總角動量保持恒定。電子和光子不需要具有基于整數的總角動量值。

動量矩定理給出質點系對矩心點動量矩的變化與外力對該點主矩之間的關系。選固定點O為矩心(取矩中心)，則動量矩定理為:

式中Lo為質點系對點O的動量矩:

為質點系中所有質點所受外力對點O的力矩M_i的總和。質點系動量矩定理表述為:質點系對固定點的動量矩對時間的導數等于外力對該點的主矩。式(1)為微分形式，在某時間間隔 【t1，t2】上積分還可得動量矩定理的積分形式：

當質點系所受外力對某固定點或某固定軸的力矩為零時，相應的動量矩保持不變，是為動量矩守恒情況。