曲率

曲率（Curvature）是描述曲線彎曲程度的數值。它是弧長關于轉角的變化率，在弧長相等時，轉角越大，曲率值越大；轉角相同時，弧長越小，曲率值越大。特別地，對于直線來說，曲率的數值為零；圓的曲率為其半徑的倒數。

設曲線

的方程為

，其中

二階可導。曲率

上取定一點

，點

處切線與

軸正向的夾角記為

。在點

附近，取

上另外一點

。曲線段

的弧長記為

，切線的轉角記為

。曲線

在點

處的曲率

定義為當

越來越接近

時，弧長關于轉角的變化率

。

曲率的概念起源于物理問題的研究。1673年，克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens）在《鐘表的振動》中，采用純幾何方法研究了平面曲線的性質。他在曲線上

點處給了一條固定的法線，當一條相鄰的法線移向這固定的法線時，這兩條法線的交點在固定法線上達到極限位置，就叫做曲線在

點的曲率中心。惠更斯證明了曲線上的點沿固定法線到這極限位置的距離是

，其長度是曲線在

點的曲率半徑。牛頓（Newton）在《解析幾何》中也引進了曲率中心的概念，作為

點的法線及其鄰點法線的交點的極限點。牛頓還給出了曲率的公式，并計算了一些曲線，包括擺線在內的曲率。

克里斯蒂安·惠更斯

后來，曲率的不同定義方式被提出，有學者將概念進行了推廣。1775年，歐拉（Euler）用參數方程表示空間曲線，他關于曲線的曲率半徑的定義是

，其中

是曲線上相距

的兩點的兩個相鄰切線的弧或角。之后，克萊勞特（Clairaut）曾經引進了空間曲線有兩個曲率的想法：其中的一個曲率由歐拉敘述過的方式加以標準化；另一個曲率為現今的“撓率”——幾何上表示一條曲線從

點處的一個平面離開的速率，后來由工程師和數學家米歇爾—昂熱·蘭克雷特（Michel-Ange Lancret）用分析方法求出。1826年，柯西（Cauchy）將曲率中心定義為兩條無限接近曲線的法線的交點。次年，高斯（Gauss）在歐拉將曲率用于空間曲線和奧林德·羅德里格斯（Olinde Rodrigues）用于曲面的標形的基礎上，對曲率進行了推廣。高斯認識到曲面面積與球面上對應區域的面積之比的極限的重要性，并用它作為曲面在一點的曲率的定義。1854年，德國數學家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）在他的就職演說中，談論了有關

維空間的曲率問題。

歐拉

曲率也可以定義為密切圓半徑的倒數。曲率半徑：設曲線

上點

處的曲率

，則

稱為曲線在點

處的曲率半徑，記為

，即

。曲率圓：作曲線在點

處切線的垂線（即法線），在曲線凹向一側的法線上取

，以

為圓心，

為半徑的圓稱為曲線在點

處的曲率圓，

稱為曲率中心。

曲率圓與曲率半徑

曲率函數通過弧長參數化的方式來定義。在考慮機械手臂末端的三個手指如何移動并抓取物體時，設計者需要通過參數化路徑來確保機械手臂能夠準確地定位和調節手指。參數化路徑不僅能夠指導機械手臂到達正確的位置，還能正確地調整其手指的姿態。通過理解機械手臂沿著曲線移動時，三個手指與曲線的相對位置，可以進一步掌握曲線的幾何特性，如曲線的旋轉和平移。這種幾何變換可以通過弗雷內特（Frenet）公式來描述。曲率函數：設

是有單位速度的曲線（

），以

表示

的單位切向量，

為

的法線。這里不要求

的長度為

，可以定義

的曲率函數為

。定義

為

的主法向量，定義

為

的副法向量，稱

為

的弗雷內特標架。

、

、

沿曲線

的變化將反映曲線自身在空間中是如何旋轉彎曲的。由

的定義知，

，所以曲率

描述了

方向上的變化。

曲線的弗雷內特標架

曲率梳：曲率梳是一種反映曲率分布的作圖方式。定義直線段

，它表示在曲線上的某個點

，沿著法向量的方向畫一條直線段。當

時，直線段的長度剛好等于曲率的絕對值。公式中，縮放因子

的作用是調整所有直線段的長度，避免出現太長的直線段而無法顯示，或者因為所有曲率值都很接近于零而出現整體不明顯的圖形，經過相同比例的縮放后使直線段能夠更合理且完美地呈現在曲線上。對曲線離散后，直線段就像一根根的“梳齒”一樣掛在曲線上，外形看起來像梳子，并且梳齒的長短反映了曲率的變化規律。所以，這種將曲線和反映曲率值大小的直線段相結合的作圖方式被形象地稱為曲率梳。在曲率梳作圖時，建議使用曲線的弧長參數化表示，這樣能夠使梳齒等距分布在曲線上，達到更好的視覺效果。

曲率梳（d=0.8）

曲線的曲率是曲線切線傾角對弧長的變化率的絕對值。曲線在某一點的曲率刻畫了曲線在該點的彎曲程度。當弧長相等的時候，轉角越大，彎曲程度越大；當轉角相同的時候，弧長越小，彎曲程度越大。對于直線來說，

，即直線不彎曲。對于圓來說，

，即圓彎曲程度處處相同，且半徑越小，彎曲得越厲害。

曲率的幾何意義

（1）普通方程：設曲線

的方程是

，且

存在，則曲線在

處的曲率公式為：

。（2）參數方程：設曲線

的參數方程為

，則曲線在點

處的曲率公式為：

。

曲率的計算公式示意圖

證明：設平面曲線

具有二階導數，此時

連續，曲線是光滑的。在曲線

上取兩點

，

（

在

的右側），記

的長為

，

的切線轉角為

。由導數定義可知，

，即

，于是

，可得

，另外，當

很小時，有

，那么

，即

，由此可得弧微分

，將

和

代入曲率的定義式，可得到曲率的計算公式。（3）隱式方程：對于用隱式

定義的曲線，其相應的曲率公式是

，這里的下標

和

的意思是對

和

求偏導，例如

。

例1：拋物線

上哪一點的曲率最大。解：由題意得

，

，

。可知，當

時，

最大。又因

為拋物線的頂點，故拋物線在頂點處的曲率最大。

例2：求擺線

在

處的曲率。解：由參數方程所確定的函數的求導法則，得

，上式兩邊再對

求一次導，得

，因此

。由曲率計算公式得

。

主曲率：經過曲面上一個點可以有無數個不同方向的曲線，因此曲面上的點在不同方向上有不同的曲率，主曲率為其中的最大值和最小值，記作

和

。當曲線轉向與平面給定法向量相同方向時，曲率取正值，否則取負值。主曲率方向互相垂直。高斯曲率與平均曲率：若已知曲面

上點

處的兩個主曲率

和

，則定義高斯曲率為：

，定義平均曲率為：

。其中高斯曲率又稱作全曲率或總曲率。第二基本形式：曲面的第二基本形式近似地等于曲面上一點

沿方向

的有向距離的兩倍。它刻畫了曲面在該點沿方向

上的彎曲程度。設曲面

有參數表示

，

，

為曲面的坐標切向量，這時

是

的單位法向量，曲面

的第二基本形式定義為

。將其進行參數化表示，可得到曲面的第二類基本量。曲面的高斯曲率和平均曲率可通過曲面的第一、二類基本量來計算。曲面的形狀算子：若

，則對

在

的每一切向量

，記

，其中

是

中

點鄰域上的單位法向量場。

稱為

在

點的由

導出的形狀算子。

可以反映曲面的形狀，其行列式、跡、特征值等都會代表一定的幾何特征。曲面上點

處的高斯曲率

，平均曲率

。

黎曼曲率：對黎曼空間

內一點

的兩個線性無關矢量

和

，

則為

，

所確定的平面的黎曼曲率，又稱截面曲率。黎曼曲率是上述短程面在點

的高斯曲率。黎曼曲率

應具有如下的特點：（1）一般來說，

應與

、

有關。（2）在黎曼空間中，矢量的二次協變微商不可交換，實際上是由空間的彎曲所引起，可見

應與

有關。（3）

應為標量，則

應與坐標系無關。（4）當

、

線性組合成另外兩個矢量

，

時，

、

所確定的切平面與

、

所確定的相同，因此

應是關于上述變換的不變量。（5）

為平直空間的充要條件是對全部矢量

、

都有

。

在工程學中，曲率可應用在預防滾動軸承損傷的理論中。通過計算滾動軸承內圈次表面裂紋的曲率，可以看出其對軸承的損傷程度以及壽命的影響。通過構建軸承有限元模型，模擬滾道次表面不同曲率的初始裂紋在徑向載荷下的動態擴展過程，可以得出，在相同工況下，0.25mm~1.67mm曲率范圍內的次表面裂紋，曲率較大的裂紋兩端的應力較小；次表面裂紋的曲率越大，裂紋的擴展長度和角度均越小；曲率較大的次表面裂紋對軸承的損傷程度以及壽命的影響較小。這種機制的發現讓工程師能夠通過優化曲率來提高軸承的耐用性，通過調整次表面裂紋的曲率減少裂紋擴展對軸承性能的影響，延長其使用壽命。

滾動軸承

在物理學領域，重力梯度張量曲率廣泛用于重力數據的處理和解釋中。通過精確計算曲率的測量參考系以及考慮局部旋轉的影響，重力梯度張量曲率的應用可以顯著提升對重力數據邊界識別的準確性。在該應用中，采用基于等位面的局部旋轉坐標系是確保各種曲率準確計算的關鍵，這種方法有助于糾正以往在計算過程中可能出現的誤差；在邊界識別方面，使用局部坐標系下計算得到的高斯曲率，能夠更有效地界定地下地質結構的邊界。

文頓鹽丘地區重力梯度

在計算機科學領域，全曲率可應用于無參考視頻穩定質量評價算法中，從而改進對劇烈的抖動敏感或與主觀評價結果一致性不高等問題。這種改進算法首先檢測相鄰兩幀圖像的特征點，計算相鄰幀間單應變換；然后將單應變換映射到李群空間形成運動路徑；最后借助離散測地逼近方法計算運動路徑全曲率，以此衡量運動路徑平滑程度，進而評價視頻穩定程度。該算法獲得的視頻穩定評價結果與人眼主觀評價結果的相關性達到97%，相比于幀間保真度、頻域分析等現有評價算法提高20%以上。

單應變換路徑的曲率表示