奇數

奇數（英文：odd integer）亦稱單數，是一類重要的整數，其定義為：整數集Z中，不能被2整除的叫奇數，數學形式可表述為：2n±1（n為整數）。

整數集

中，不能被

整除的叫奇數。其數學形式表述為：

。例如，奇數

。

整數概念最早可追溯到遠古時期，人們為了計量物體的個數，自然用手指或其他事物，與被計量的物體進行逐一比較，從而產生了最初的整數。約公元前6世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）建立的畢達哥拉斯學派認為自然界的一切都是由數組成的，并將數分為奇數和偶數，認為偶數是陰性的，奇數是陽性的，且奇數只能分成不相等的兩部分。而后在形數的研究中，畢達哥拉斯學派注意到形與數的關系，如把連續的奇數相加，可得到正方形數；把連續的偶數相加，可得到長方形數等。后來，數學家柏拉圖（Plato）把算術看成是關于奇數與偶數的科學，并在著作《巴門尼德》中記載了偶倍偶、奇倍奇、奇倍偶和偶倍奇等術語，改用現代化語言來表述即為偶數乘偶數、奇數乘奇數、奇數乘偶數和偶數乘奇數，體現了奇數與偶數之間的關系。約公元前300年，古希臘數學家歐幾里得（Euclid）整理了前人的工作，寫成13卷《幾何原本》，其中關于奇數與偶數的相關內容記載在第九卷上。

柏拉圖

1826年，教育學家福祿貝爾（Friedrich Frobel）在著作《人類的教育》一書中指導教師用“1既不是偶數也不是奇數”的主張來教育學生。此外，福祿貝爾認為在兩個相對地說不同的事物和概念之間存在著一個第三者，在兩者中保持一定的平衡，把兩者統一在自身之中。例如，在偶數和奇數之間有一個不屬于兩方之中任何一方的數。

福祿貝爾

（1）奇數

奇數

偶數；（2）奇數

偶數

奇數。

（1）奇數

偶數

偶數；（2）奇數

奇數

奇數；（3）奇數的任意非負整數（即正整數或零）次冪是奇數。

在整數除法運算中，如果要讓商是整數，這樣的除法不是總能除盡的。由帶余除法可知，整數

是奇數的充要條件是：

能表示為

的形式，其中

為整數。

（1）當

為奇數，且

時，

總能成立；（2）對任意的正整數

，總有：

• 任何一個整數

  的完全平方數都可表示為從數

  起的

  個連續奇數的和；

• 任何一個正整數

  的完全立方數，都可表示為首項為

  和末項為

  的

  個連續奇數的和。

自然數的全體組成一個自然數集合，它可以分成奇數集和偶數集。其中，把奇數的全體組成一個集合

，稱為奇數集。

定義：整數集

中，能被

整除的叫偶數，可用數學形式表述為：

。性質：（1）偶數

偶數

偶數；（2）偶數

偶數

偶數；（3）

是唯一的偶素數，其余的偶數都是合數；（4）任何一個非零正偶數

，總可以表示為

，其中

是正奇數，

是非零正整數。

是特殊的偶數，它不能表成

的形式；（5）任何偶數的平方總能被

整除；（6）任一偶數不與奇數相等。

猜想內容哥德巴赫猜想有兩個，其中關于奇數的猜想是：每個不小于

的奇數都是三個奇素數之和。證明方法奇數哥德巴赫猜想最初在廣義黎曼（Riemann）猜想成立的前提下，對于所有足夠大的奇數成立。之后，蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradov）用三角和方法證明了每一個大奇數都是三個奇素數之和，但沒能定出下界。最終，在計算機驗證的幫助下，奇數哥德巴赫猜想得以全部證明。猜想結論奇數哥德巴赫猜想已得到證明，但偶數哥德巴赫猜想仍然未得到解決。

定義：設

為對稱于原點的數集，

為定義在

上的函數，若對每一個

，都有

，則稱

為

上的奇函數。若對每一個

，都有

，則稱

為

上的偶函數。圖像：如圖，正弦函數

是一個奇函數，它的函數圖形是關于原點

對稱的。

正弦函數

定義：在一個

級排列

中，如果較大的元素

排在較小的元素

的左側，則稱

和

構成一個逆序。一個

級排列中逆序的總數，稱為這個排列的逆序數，記為

或

逆序數為偶數的排列稱為偶排列，逆序數為奇數的排列稱為奇排列。例如：在

級排列中，因為

，所以排列

都是奇排列。

傳統的光開關交換技術通常采用

和

等偶數端口對稱型光開關，它具有較強的擴容和重構能力，但在某些特定情況下，奇數端口非對稱型光開關的也具有重要的應用。基于傳統的成熟的信號光偏振控制技術，可設計一種

和

的非對稱結構和奇數端口的交換開關，它具有結構簡單緊湊、控制方便靈活、即插即用等特點。

雙作用葉片泵通過旋轉定子可以改變排量成為變量泵，如果采用偶數葉片，可能會致使雙作用變量葉片泵的瞬時流量的脈動量比較大，從而影響泵的性能。為了改善泵的瞬時流量性能，可采用奇數葉片的雙變量葉片泵，它能有效地提高泵的瞬時流量性能。從瞬時流量性能的角度，變量雙作用葉片泵可采用奇數葉片。

美國州際高速公路的編號存在一定的規律，它的編號由一個或兩個號碼組成。通常，南北走向為奇數，如

等。由三個號碼組成的高速公路，如果三個號碼中的第一位數是單數，如

，說明該路為支路，進入城市后即終止。即從

號變成

號。

《世界奇妙物語 2000春之特別篇》是2000年在日本上映的一部電影，其中有一個關于“奇數”的篇章，主要講述一個男人乘坐電車回家時，他發現所有人都坐在奇數的座位上，更奇怪的是，乘客們似乎是按照自己的座位順序依次下車。

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