固體力學

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表面張力是靜止的液體表面收縮到可能的最小表面積的趨勢。表面張力使密度比水高的物體，例如剃須刀片和昆蟲（例如水黽）能夠漂浮在水面上而不會被部分淹沒。在液-氣界面處，表面張力是由于液體分子彼此之間的吸引力（由于內聚力）比空氣中的分子（由于粘附力）更大。有兩種主要機制在起作用。一種是表面分子上的向內力導致液體收縮。其次是平行于液體表面的切向力。這種切向力通常稱為表面張力。最終效果是液體表現得好像其表面被拉伸的彈性膜覆蓋。但是這個類比不能走得太遠，因為彈性膜中的張力取決于膜的變形量，而表面張力是液-氣或液-氣界面的固有特性。由于水分子通過氫鍵網絡相互之間具有相對較高的吸引力，因此與大多數其他液體相比，水具有更高的表面張力（20°C時每米72.8毫牛頓(mN)）。表面張力是造成毛細現象的重要因素。表面張力具有每單位長度的力或每單位面積的能量的量綱。兩者是等價的，但是當提到每單位面積的能量時，通常使用術語表面能，這是一個更通用的術語，因為它也適用于固體。在材料科學中，表面張力用于表面應力或表面能。

由于內聚力，遠離表面的分子被相鄰的液體分子在每個方向上均等地拉動，導致凈力為零。表面的分子在它們的所有側面都沒有相同的分子，因此被向內拉。這會產生一些內部壓力并迫使液體表面收縮到最小面積。由于水分子的內聚性，在液-氣界面處還存在平行于表面的張力，該張力將抵抗外力。作用在相同類型分子之間的吸引力稱為內聚力，而作用在不同類型分子之間的吸引力稱為粘附力。液體的內聚力及其對容器材料的粘附力之間的平衡決定了潤濕程度、接觸角和彎月面的形狀。當內聚力占主導地位時（特別是粘附能小于內聚能的一半），潤濕性低，彎液面在垂直壁處是凸出的（如玻璃容器中的汞）。另一方面，當粘附占主導地位時（粘附能超過內聚能的一半），潤濕性很高，并且類似的彎月面是凹的（如玻璃中的水中）。表面張力決定了液滴的形狀。雖然容易變形，但由于表面層內聚力的不平衡，水滴往往會被拉成球形。在沒有其他力的情況下，幾乎所有液體的液滴都是近似球形的。根據拉普拉斯定律，球形使表面層的必要壁張力最小化。另一種觀察表面張力的方法是用能量來表示。與鄰居接觸的分子比單獨的分子處于更低的能量狀態。內部分子有盡可能多的鄰居，但邊界分子缺少鄰居（與內部分子相比），因此具有更高的能量。為了使液體的能態最小化，必須使高能邊界分子的數量最小化。最小數量的邊界分子導致最小的表面積。作為表面積最小化的結果，表面將呈現出它所能呈現的最光滑的形狀（平滑形狀最小化表面積的數學證明依賴于歐拉-拉格朗日方程的使用）。由于表面形狀的任何曲率都會產生更大的面積，因此也會產生更高的能量。

用普通水可以看到表面張力的幾種影響：

• 雨水在蠟質表面（如樹葉）上形成珠狀。水對蠟的附著力很弱，對自身的附著力很強，所以水會聚集成水滴。表面張力使它們具有接近球形的形狀，因為球體具有最小的表面積與體積比。
• 當大量液體被拉伸時會形成液滴。動畫（下圖）顯示附著在水龍頭上的水會增加質量，直到它被拉伸到表面張力無法再保持水滴與水龍頭相連的程度。然后它分離，表面張力將液滴形成一個球體。如果水流從水龍頭流出，水流會在下落時分解成水滴。重力拉伸水流，然后表面張力將其擠壓成球體。
• 當物體不可潤濕并且其重量小到足以承受由表面張力產生的力時，就會發生比水更稠密的物體漂浮。例如，水黽利用表面張力以下列方式在池塘表面行走。水黽腿的不潤濕性意味著腿的分子和水分子之間沒有吸引力，所以當腿向下推水時，水的表面張力只是試圖從變形中恢復其平坦度腿。水的這種行為將水黽向上推，因此只要它的質量足夠小，水可以支撐它，它就可以站在水面上。水的表面表現得像一層彈性薄膜：昆蟲的腳在水面上造成凹痕，
• 油和水的分離（在這種情況下是水和液體蠟）是由不同液體之間的表面張力引起的。這種類型的表面張力稱為界面張力，但其化學性質是相同的。
• 酒的眼淚是在裝有酒精飲料的玻璃杯側面形成的水滴和小溪。其原因是水和乙醇的不同表面張力之間的復雜相互作用。它是由乙醇對水的表面張力改性以及乙醇比水蒸發更快的組合引起的。

表面張力在其他常見現象中可見，尤其是在使用表面活性劑降低表面張力時：

• 肥皂泡具有非常大的表面積和非常小的質量。純水中的氣泡是不穩定的。然而，添加表面活性劑可以對氣泡產生穩定作用（參見Marangoni效應）。請注意，表面活性劑實際上將水的表面張力降低了三倍或更多。
• 乳液是一種表面張力在其中起作用的膠體。懸浮在純水中的微小油碎片會自發地聚集成更大的團塊。但是表面活性劑的存在降低了表面張力，從而使水體中的微小油滴保持穩定（反之亦然）。

由符號γ（或者σ或T）表示的表面張力以每單位長度的力來測量。它的SI單位是牛頓每米，但也使用達因每厘米的cgs單位。

表面張力可以用力或能量來定義。

液體的表面張力γ是每單位長度的力。在右圖中，矩形框架由形成U形的三個不可移動邊（黑色）和可向右滑動的第四個可移動邊（藍色）組成。表面張力會將藍條拉向左側；保持可動側所需的力F與固定側的長度L成正比。因此，F/L比率僅取決于液體的固有特性（成分、溫度等），而不取決于其幾何形狀。例如，如果框架具有更復雜的形狀，則發現比率F/L，其中L是可移動側的長度，F是阻止其滑動所需的力，發現對于所有形狀都是相同的。

液體的表面張力γ是液體能量變化與液體表面積變化（導致能量變化）的比值。這很容易與前面關于力的定義聯系起來：如果F是阻止側面開始滑動所需的力，那么這也是使側面保持勻速滑動狀態的力(由牛頓第二定律）。但是，如果一側向右移動（在施加力的方向上），則拉伸液體的表面積會增加，而施加的力對液體做功。這意味著增加表面積會增加薄膜的能量。力F使邊移動距離Δx所做的功為W=FΔx；同時，薄膜的總面積增加了ΔA=2LΔx（這里是因子2，因為液體有兩個側面，兩個表面）。根據通常的論點，這項工作W被解釋為被存儲為勢能。因此，表面張力也可以在SI系統中測量為焦耳每平方米，在cgs系統中測量為ergs/cm2。由于機械系統試圖找到一種勢能最小的狀態，因此自由液滴自然呈球形，對于給定體積，其表面積最小。單位面積能量與單位長度力的測量等價性可以通過量綱分析來證明。

如果沒有力垂直于受拉表面，則表面必須保持平坦。但是，如果表面一側的壓力與另一側的壓力不同，則壓力差乘以表面積會產生法向力。為了使表面張力抵消壓力引起的力，表面必須是彎曲的。該圖顯示了一小塊表面的表面曲率如何導致垂直于小塊中心作用的表面張力的凈分量。在哪里：

• Δp是壓力差，稱為拉普拉斯壓力。
• γ是表面張力。
• Rx和Ry是平行于表面的每個軸的曲率半徑。

右側括號中的量實際上是（兩倍）表面的平均曲率（取決于歸一化）。這個方程的解決定了水滴、水坑、半月板、肥皂泡的形狀，以及由表面張力決定的所有其他形狀（例如水黽的腳在池塘表面留下的印記的形狀）。下表顯示了水滴的內部壓力如何隨著半徑的減小而增加。對于不是非常小的液滴，效果是微妙的，但是當液滴尺寸接近分子尺寸時，壓力差變得巨大。（在單個分子的限制下，這個概念變得毫無意義。）

當一個物體被放置在液體上時，它的重量Fw會壓低表面，如果表面張力和向下的力相等，那么它會被兩側的表面張力Fs平衡，這兩個點都平行于水的表面它與物體接觸的地方。請注意，身體的微小運動可能會導致物體下沉。隨著接觸角的減小，表面張力減小。兩個Fs箭頭的水平分量指向相反的方向，因此它們相互抵消，但垂直分量指向相同的方向，因此相加來平衡Fw。物體的表面必須不能潤濕以發生這種情況，并且它的重量必須足夠低，以使表面張力能夠支撐它。

使用嚴格的數學方法找到由某個任意形狀框架界定的最小表面的形狀可能是一項艱巨的任務。然而，通過用金屬絲制成框架并將其浸入肥皂溶液中，在幾秒鐘內生成的肥皂膜中就會出現局部最小的表面。原因是流體界面上的壓力差與平均曲率成正比，如Young-Laplace方程所示。對于開放的肥皂膜，壓力差為零，因此平均曲率為零，最小表面具有平均曲率為零的特性。

任何液體的表面都是該液體與其他介質之間的界面。例如，池塘的頂部表面是池塘水和空氣之間的界面。因此，表面張力不僅僅是液體的特性，而是液體與另一種介質界面的特性。如果液體在容器中，那么除了在其頂面的液/氣界面外，在液體和容器壁之間也存在界面。液體和空氣之間的表面張力通常不同于（大于）它與容器壁的表面張力。在兩個表面相交的地方，它們的幾何形狀必須使所有力平衡。在兩個表面相交的地方，它們形成接觸角θ，這是表面的切線與固體表面形成的角度。請注意，角度是通過液體測量的，如上圖所示。右圖顯示了兩個示例。顯示了液-氣界面、液-固界面和固-氣界面的張力。在哪里

• γls是液-固表面張力，
• γla是液體-空氣表面張力，
• γsa是固體-空氣表面張力，
• θ是接觸角，其中凹彎月面的接觸角小于90°，凸彎月面的接觸角大于90°。

這意味著雖然液體-固體和固體-空氣表面張力之間的差異γls-γsa很難直接測量，但可以從液體-空氣表面張力γla和平衡接觸角θ推斷出來，這是易于測量的前進和后退接觸角的函數（參見主要文章接觸角）。

觀察到在接觸角等于90°的水-銀界面的特殊情況下，液體-固體/固體-空氣的表面張力差正好為零。另一個特殊情況是接觸角正好是180°。含有特制特氟隆的水可以解決這個問題。當液-固表面張力恰好等于液-氣表面張力時，接觸角為180°。

由于表面張力表現在各種影響中，它提供了許多測量途徑。哪種方法最佳取決于被測液體的性質、測量其張力的條件以及其表面變形時的穩定性。測量表面張力的儀器稱為張力計。

• DuNoüy環法：用于測量表面或界面張力的傳統方法。表面或界面的潤濕特性對這種測量技術幾乎沒有影響。測量由表面施加在環上的xxx拉力。
• Wilhelmy板法：一種特別適用于長時間檢查表面張力的通用方法。將已知周長的垂直板連接到天平，并測量由于潤濕引起的力。
• 旋轉滴法：該技術非常適合測量低界面張力。重相中液滴的直徑是在兩者都旋轉時測量的。
• 懸滴法：即使在升高的溫度和壓力下，也可以通過這種技術測量表面和界面張力。光學分析液滴的幾何形狀。對于懸垂液滴，xxx直徑以及該參數與距液滴頂點xxx直徑距離處的直徑之比已用于評估尺寸和形狀參數，以確定表面張力。
• 氣泡壓力法（Jaeger方法）：一種用于確定短表面年齡的表面張力的測量技術。測量每個氣泡的xxx壓力。
• 滴體積法：一種確定界面張力隨界面年齡變化的方法。將一種密度的液體泵入另一種密度不同的液體中，并測量產生的液滴之間的時間。
• 毛細管上升法：將毛細管的末端浸入溶液中。溶液到達毛細管內部的高度通過下面討論的方程與表面張力有關。
• 石像測量法：稱重和讀取一滴液體的方法。
• 靜滴法：一種通過將液滴放在基材上并測量接觸角來確定表面張力和密度的方法（參見靜滴技術）。
• DuNoüy–Padday方法：DuNoüy方法的最小化版本使用小直徑金屬針而不是環，結合高靈敏度微量天平來記錄xxx拉力。這種方法的優點是可以以非常高的精度測量非常小的樣品體積（低至幾十微升），而無需校正浮力（對于具有適當幾何形狀的針或棒）。此外，可以非常快速地進行測量，最少需要大約20秒。
• 懸浮液滴的振動頻率：磁懸浮液滴的自然振動頻率已被用于測量超流體4He的表面張力。在T=0K時，該值估計為0.375dyn/cm。
• 球形和半球形液滴的共振振蕩：該技術基于測量由調制電場振蕩驅動的球形和半球形懸垂液滴的共振頻率。可以從獲得的共振曲線評估表面張力和粘度。
• 落彈法：該方法基于空氣動力學懸浮和可拆分噴嘴設計。將穩定懸浮的液滴滴到平臺上后，樣品會變形并反彈回來，在半空中振蕩，因為它試圖最小化其表面積。通過這種振蕩行為，可以測量液體的表面張力和粘度。
• 通過智能手機：一些智能手機可用于測量透明液體的表面張力。該方法基于測量已知頻率的毛細波的波長。將智能手機放在裝有液體的杯子上。然后智能手機的振動馬達（通過杯子）在液體表面激發毛細血管波紋，這些波紋被智能手機的相機捕捉到。

舊式水銀氣壓計由一個直徑約1厘米的垂直玻璃管組成，其中部分填充了水銀，在未填充的體積中具有真空（稱為托里切利真空）（見右圖）。請注意，管中心的水銀水平高于邊緣，使水銀圓頂的上表面呈圓頂狀。如果汞的頂面在管子的整個橫截面上是平坦的，則整個汞柱的質心會稍低。但是圓頂形的頂部為整個水銀質量提供了略小的表面積。同樣，這兩種效應結合起來以最小化總勢能。這種表面形狀被稱為凸彎月面。我們考慮整個汞的表面積，包括與玻璃接觸的那部分表面，因為汞根本不會附著在玻璃上。因此，汞的表面張力作用于其整個表面區域，包括它與玻璃接觸的地方。如果用銅代替玻璃管，情況就會大不相同。汞會積極地附著在銅上。因此，在銅管中，管子中心的汞水平將低于邊緣（也就是說，它會是一個凹彎月面）。在液體粘附在容器壁上的情況下，我們認為與容器接觸的液體表面積部分具有負表面張力。流體然后工作以最大化接觸表面積。所以在這種情況下，增加與容器接觸的面積會減少而不是增加勢能。這種減少足以補償與提升容器壁附近的流體相關的增加的勢能。如果管子足夠窄并且液體對其壁的粘附力足夠強，則表面張力會以一種稱為毛細作用的現象將液體吸到管子上。對于玻璃上的汞，γHg=487dyn/cm，ρHg=13.5g/cm3和θ=140°，得到hHg=0.36cm。對于25°C石蠟上的水，γ=72dyn/cm，ρ=1.0g/cm3，θ=107°，得到hH2O=0.44cm。該公式還預測，當接觸角為0°時，液體會在表面擴散成微薄層。據說這樣的表面可以被液體完全潤濕。

在日常生活中，我們所有人都觀察到，從水龍頭流出的水流會分解成水滴，無論水流從水龍頭流出得多么順暢。這是由于一種稱為高原-瑞利不穩定性的現象，這完全是表面張力影響的結果。對這種不穩定性的解釋始于流中存在微小的擾動。無論流多么流暢，這些總是存在的。如果將擾動分解為正弦分量，我們會發現一些分量隨時間增長，而另一些則隨時間衰減。在那些隨時間增長的人中，有些人的增長速度比其他人快。一個組件是衰減還是增長，以及它增長的速度完全取決于它的波數（衡量每厘米有多少峰和谷）和原始圓柱流的半徑。

JWGibbs基于不連續面的概念發展了毛細現象的熱力學理論。吉布斯考慮了一個尖銳的數學表面被放置在存在于兩種同質物質之間的微觀模糊物理界面的某個地方的情況。意識到表面位置的確切選擇有些武斷，他讓它保持靈活。由于界面與其周圍的物質處于熱和化學平衡（具有溫度T和化學勢μi），Gibbs考慮了表面可能具有過量能量、過量熵和過量粒子的情況。如上所述，這意味著增加表面積A所需的機械功為dW=γdA，假設每一側的體積不變。即考慮到能量和粒子從表面到周圍流體的可能運動，總熵的增加。由此很容易理解為什么大量液體的表面積減小總是自發的，只要它不與任何其他能量變化耦合。因此，為了增加表面積，必須添加一定量的能量。

• 從勺子中彈起的移動的水片破裂。
• 流動的水附著在手上的照片。表面張力在水流和手之間形成水層。
• 肥皂泡平衡表面張力與內部氣壓。
• 表面張力可防止硬幣下沉：硬幣的密度無疑比水大，因此它必須排出比其自身更大的體積，才能通過浮力平衡質量。
• 一枚鋁幣漂浮在10°C的水面上。任何額外的重量都會使硬幣掉到底部。
• 一朵雛菊。整個花朵位于（未受干擾的）自由表面的水平面以下。水在其邊緣平穩上升。表面張力防止水置換花瓣之間的空氣并可能淹沒花朵。
• 一個金屬回形針漂浮在水面上。通常可以小心地添加幾個而不會溢出水。
• 漂浮在水面上的金屬回形針。燈前的格柵創造了“輪廓線”，顯示了金屬回形針引起的水面變形。