描述數是圖靈機理論中出現的數字。它們與哥德爾數非常相似，在文獻中也偶爾被稱為哥德爾數。給定一些通用的圖靈機，每臺圖靈機都可以在該機器上給其編碼，并分配一個數字。這就是機器的描述號。這些數字在阿蘭-圖靈對停止問題的不可判定性的證明中發揮了關鍵作用，在推理圖靈機時也非常有用。

假設我們有一臺圖靈機M，狀態為q1,...qR，磁帶字母表上有符號s1,...sm，空白處用s0表示，轉換時給出當前狀態、當前符號和執行的動作（可能是覆蓋當前磁帶符號，向左或向右移動磁帶頭，也可能根本不移動），以及下一個狀態。在阿蘭-圖靈描述的原始通用機器下，這臺機器將被編碼為它的輸入，如下所示。狀態qi由字母'D'跟著字母'A'重復i次來編碼（單數編碼），磁帶符號sj由字母'D'跟著字母'C'重復j次來編碼，轉換是通過給出狀態、輸入符號、要寫在磁帶上的符號、移動方向（用字母'L'、'R'或'N'表示，代表左、右或不移動）和要進入的下一個狀態來編碼，狀態和符號的編碼方式同上。因此，UTM的輸入由分號分隔的過渡組成，所以它的輸入字母表由七個符號組成，'D'、'A'、'C'、'L'、'R'、'N'和'；'。例如，對于一個非常簡單的圖靈機，它永遠在其磁帶上交替打印0和1。狀態：q1，輸入符號：空白，動作：打印1，向右移動，下一狀態：q2狀態：q2，輸入符號：空白，動作：打印0，向右移動，下一狀態：q1讓空白為s0，'0'為s1，'1'為s2，機器將被UTM編碼為。daddccrdaa;daaddcrda。但是，如果我們將七個符號'A'分別替換為1，'C'替換為2，'D'替換為3，'L'替換為4，'R'替換為5，'N'替換為6，'；'替換為7，我們將得到圖靈機的編碼為一個自然數：這就是圖靈通用機器下該圖靈機的描述數。因此，上面描述的簡單圖靈機的描述號是313322531173113325317。對于每一種其他類型的通用圖靈機都有一個類似的過程。通常沒有必要以這種方式實際計算描述號：重點是每個自然數都可以被解釋為最多一個圖靈機的代碼，盡管許多自然數可能不是任何圖靈機的代碼（或者換一種說法，它們代表沒有狀態的圖靈機）。對于任何圖靈機來說，這樣的數字總是存在的，這通常是重要的事情。

說明數在許多不可知性證明中起著關鍵作用，例如證明停止問題是不可知的。首先，自然數和圖靈機之間的這種直接對應關系的存在表明，所有圖靈機的集合是可數的，由于所有部分函數的集合是不可數的無限的，肯定有許多函數不能被圖靈機計算。通過利用類似于康托爾對角線論證的技術，可以展示這樣的不可計算的函數，例如，特別是停止問題是不可判定的。首先，讓我們用U(e,x)表示通用圖靈機的動作，給定一個描述數e和輸入x，如果e不是有效圖靈機的描述數，則返回0。

現在，假設有一些能夠解決停止問題的算法，即一個圖靈機TEST(e)，它給定某個圖靈機的描述號，如果圖靈機在每個輸入上都停止，則返回1；如果有一些輸入會導致它永遠運行，則返回0。通過結合這些機器的輸出，應該可以構建另一個機器δ(k)，如果TEST(k)為1，則返回U(k,k)+1，如果TEST(k)為0則返回0。既然δ是由我們假設的圖靈機建立起來的，那么它也必須有一個描述號，稱之為e。因此，我們可以再次將描述號e送入UTM，根據定義，δ(k)=U(e，k)，所以δ(e)=U(e，e)。但由于TEST(e)是1，根據我們的另一個定義，δ(e)=U(e,e)+1，導致了矛盾。因此，TEST(e)不可能存在，這樣一來，我們就把停頓問題解決了，因為它是不可解的。