圖同態

在代數拓撲學和圖論中，圖同態描述了圖的同態組，其中圖被視為一個拓撲空間。它正式確定了圖中洞的數量的概念。它是簡單同源的一個特例，因為圖是簡單復合體的一個特例。由于有限圖是一個1-復數（即它的"面"是頂點--是0維的，而邊--是1維的），唯 一非瑣碎的同源群是第0群和第1群。

拓撲空間X的第1同調群的一般公式為：。{displaystyleH_{1}(X):=kerpartial_{1}{big/}operatorname{im}.{pos(2)}部分{pos(2)}下面的例子在圖上充分解釋了這些符號和概念。

讓X是一個有3個頂點{x,y,z}和4條邊{a:x→y,b:y→z,c:z→x,d:z→x}的定向圖。它有幾個循環。

一個循環由循環a+b+c表示。這里，加號表示所有的邊都在同一方向上行走。由于加法運算是交換性的，"+"號表示循環a+b+c，b+c+a，c+a+b，都代表同一個循環。

第二個循環由循環a+b+d表示，第三個循環由循環c-d表示。如果我們沿著a+b+d的循環切割平面，然后在c處切割并在d處粘合，我們會得到一個沿著a+b+c的循環的切割。

這可以用以下關系表示：（a+b+d）+（c-d）=（a+b+c）。為了正式定義這個關系，我們定義以下的換元組。C0是由頂點{x,y,z}集合生成的自由非線性群。

C1是由有向邊{a,b,c,d}的集合生成的自由非線性群，C1的每個元素被稱為0維鏈。C1的每個元素被稱為一個1維鏈。

上面提到的三個循環是一維鏈，事實上，(a+b+d)+(c-d)=(a+b+c)的關系在群C1中成立。C1中的大多數元素不是循環，例如a+b，2a+5b-c等都不是循環。

為了正式定義一個循環，我們首先定義邊界。一條邊的邊界被表示為?1{displaystyle{partial_{1}}來表示，并定義為其目標減去算子表示，并定義為其目標減去其源，因此{displaystylepartial_{1}}的內核有兩個生成器：一個對應a+b+c，另一個對應a+b+d。

有兩個生成器：一個對應于a+b+c，另一個對應于a+b+d（第三個循環，c-d，是前兩個循環的線性組合）。在一般的拓撲空間中，我們會定義更高維的鏈。特別是，C2將是2維物體集合上的自由非線性群。

然而，在一個圖中沒有這樣的對象，所以C2是一個瑣碎的群。因此，第二個邊界算子的圖像。這與圖形有兩個洞的直觀事實相對應。

指數是孔的數量。一般情況上述例子可以推廣到一個任意的連接圖G=（V，E）。讓T是G的生成樹。E/T中的每條邊都對應于一個循環；這些正是線性獨立循環。因此，圖的第 一同源群H1是具有|ET|生成器的自由非線性群。