在數理邏輯中，皮亞諾公理，也被稱為戴德金-皮亞諾公理或皮亞諾公設，是19世紀意大利數學家朱塞佩-皮亞諾提出的自然數公理。這些公理在一些元數學研究中幾乎沒有改變過，包括對數論是否一致和完整的基本問題的研究。直到赫爾曼-格拉斯曼（HermannGrassmann）的工作，人們才很好地認識到將算術形式化的必要性，他在19世紀60年代表明，算術中的許多事實可以從有關繼承運算和歸納的更基本的事實中推導出來。1881年，查爾斯-桑德斯-皮爾斯提供了一個自然數算術的公理化。1888年，理查德-戴德金提出了另一個自然數算術的公理化，1889年，皮亞諾在他的《用新方法介紹算術原理》（拉丁文：Arithmeticesprincipia,novamethodoexposita）一書中發表了這些公理的簡化版本。皮亞諾九條公理包含三種類型的陳述。xxx條公理斷言自然數集合中至少有一個成員存在。接下來的四條是關于平等的一般陳述；在現代的處理中，這些常常不被視為佩阿諾公理的一部分，而是被視為基礎邏輯的公理。接下來的三個公理是關于自然數的一階陳述，表達了繼任運算的基本屬性。第九條，也就是最后一條公理是關于自然數的數學歸納原則的二階陳述，這使得這一表述接近于二階算術。通過明確增加加法和乘法運算符號，并以一階公理模式取代二階歸納公理，就可以得到一個較弱的一階系統，稱為皮亞諾算術。歷史上的二階表述當皮亞諾提出他的公理時，數理邏輯的語言正處于起步階段。他為表述公理而創建的邏輯符號系統并沒有被證明是流行的，盡管它是集合成員（∈，來自皮亞諾的ε）和隱含（?，來自皮亞諾的反轉'C'）的現代符號的起源。皮亞諾在數學和邏輯符號之間保持了明確的區分，這在數學中還不常見；這種區分最早是由戈特洛夫-弗雷格在1879年出版的《入門》中提出的。皮亞諾不知道弗雷格的工作，他在布爾和施羅德的工作基礎上獨立地重新創建了他的邏輯裝置。培諾公理定義了自然數的算術屬性，通常表示為一個集合N或公理的非邏輯符號包括一個常數符號0和一個單項函數符號S。xxx條公理指出，常數0是一個自然數。皮亞諾公理的最初表述是用1而不是0作為xxx個自然數，而Formulariomathematico中的公理則包括0。接下來的四條公理描述了平等關系。由于它們在平等的一階邏輯中邏輯上是有效的，因此在現代的處理中，它們不被認為是佩阿諾公理的一部分。對于每一個自然數x，x=x，即平等是反射性的。對于所有自然數x和y，如果x=y，那么y=x，即平等是對稱的。對于所有自然數x，y和z，如果x=y和y=z，那么x=z，即平等是傳遞性的。對于所有a和b，如果b是一個自然數，a=b，那么a也是一個自然數。剩下的公理定義了自然數的算術屬性。自然數被假定在單值繼任函數S下是封閉的。

對于每個自然數n，S(n)是一個自然數。對于所有的自然數m和n，當且僅當S(m)=S(n)時，m=n，也就是說，自然數在S下是封閉的。對于每一個自然數n，S(n)=0是假的。公理1、6、7、8定義了自然數的直觀概念的單項表示：數字1可以定義為S(0)，2可以定義為S(S(0))，等等。然而，考慮到自然數的概念是由這些公理定義的，公理1、6、7、8并不意味著繼任函數產生了所有不同于0的自然數。每一個自然數都可以通過對0足夠頻繁地應用繼任函數而得到，這個直觀的概念需要一個額外的公理，有時被稱為歸納公理。如果K是一個集合，使得：0在K中，并且對于每個自然數n，n在K中意味著S(n)在K中，那么K包含每個自然數。歸納公理有時以下列形式表述。