近乎周期性函數

在數學中，近乎周期性函數，寬泛地說，是一個實數的函數，其周期性在任何所需的精度水平內，給定適當長的、分布良好的近乎周期。這個概念首先由哈拉爾-玻爾研究，后來由維亞切斯拉夫-斯捷潘諾夫、赫爾曼-魏爾和阿布拉姆-薩莫伊洛維奇-貝西科維奇等人概括。在局部緊湊的非線性群上也有一個幾乎周期性函數的概念，首先由約翰-馮-諾伊曼研究。幾乎周期性是動態系統的一個屬性，它似乎在相空間中回溯了它們的路徑，但并不準確。一個例子是一個行星系統，其軌道上的行星以不相稱的周期運動（即周期向量與整數向量不相稱）。克羅內克（Kronecker）的一個關于二項式近似的定理可以用來表明，任何特定的配置，只要出現一次，就會在任何指定的精度內重復出現：如果我們等待足夠長的時間，我們可以觀察到行星都會在一秒的弧度內回到它們曾經的位置。

近乎周期函數有幾個不對等的定義。第一個是由哈拉爾-玻爾給出的。他的興趣最初是在有限的迪里切特級數上。事實上，通過截斷Riemannzeta函數ζ(s)的數列，使其成為有限的，我們可以得到以下類型的項的有限和s寫成（σ+it）--其實部σ和虛部it之和。固定σ，所以把注意力限制在復平面的一條垂直線上，我們也可以把它看作是{dISPlaystylen{sigma}e{(logn)it}.,}取這樣的有限項之和，可以避免分析延續到σ<1的區域的困難。在這里，"頻率"logn不會都是可交換的（它們在有理數上是線性獨立的，就像整數n是乘法獨立的一樣--這歸結于它們的質因數）。有了這個考慮具有獨立頻率的三角多項式類型的最初動機，數學分析被應用于討論這組基本函數的閉合，在各種規范中。在20世紀20年代和30年代，貝西科維奇、斯捷潘諾夫、韋爾、馮-諾伊曼、圖靈、波赫納等人利用其他規范發展了該理論。

波爾（1925）將統一幾乎周期性函數定義為三角多項式對統一規范的閉合度(關于R上的有界函數f)。換句話說，如果對于每一個ε>0，有一個正弦波和余弦波的有限線性組合，與f的距離小于ε的統一規范，那么函數f是均勻幾乎周期性的。玻爾證明，這個定義等同于存在一個相對密集的ε幾乎周期，對于所有的ε>0：即翻譯T（ε）=T的變量t使Bochner(1926)提出的另一個定義與玻爾的定義相當，而且陳述起來相對簡單。如果函數f的每一個平移序列{?(t+Tn)}都有一個子序列，在(-∞,+∞)中的t均勻地收斂，那么這個函數就是幾乎周期性的。玻爾幾乎周期性函數與實數的玻爾緊湊化上的連續函數基本相同。

斯捷潘諾夫幾乎周期函數的空間SP（對于p≥1）是由V.V.斯捷潘諾夫（1925）提出的。它包含玻爾幾乎周期函數的空間。它是三角多項式在規范下的閉合。{displaystyle|f|_{S,r,p}=sup_{x}left({1overr}int_{x}{x+r}|f(s)|{p},dsright){1/p}}對于任何固定的正值r；對于不同的r值，這些準則給出了相同的拓撲結構，因此是相同的近乎周期函數空間（盡管這個空間的準則取決于對r的選擇對于任何固定的r的正值；對于不同的r值，這些規范給出了相同的拓撲結構，因此也是相同的幾乎周期函數空間（盡管這個空間的規范取決于r的選擇）。

Weyl近乎周期函數的Wp空間（對于p≥1）是由Weyl（1927）提出的。它包含斯捷潘諾夫幾乎定期函數的空間Sp。它是三角多項式在半規范下的閉合狀態警告：有一些非零函數?的||?||W,p=0，比如任何緊湊支持的有界函數，所以要得到一個Banach空間，必須通過這些函數商出來。

貝西科維奇近周期函數空間Bp是由貝西科維奇（1926）提出的。