在數學中，傅里葉分析（/?f?rie?,-i?r/）是研究一般函數如何通過較簡單的三角函數之和來表示或近似。傅里葉分析源于對傅里葉級數的研究，并以約瑟夫-傅里葉的名字命名，他表明將一個函數表示為三角函數之和可以xxx簡化熱傳遞的研究。傅里葉分析的主題包含了一個巨大的數學范圍。在科學和工程領域，將一個函數分解成振蕩成分的過程通常被稱為傅里葉分析，而從這些碎片中重建函數的操作被稱為傅里葉合成。例如，確定一個音符中存在哪些頻率成分，需要計算采樣音符的傅里葉變換。然后，人們可以通過包括傅里葉分析中顯示的頻率成分來重新合成同一個聲音。在數學中，傅里葉分析一詞通常指的是對這兩種操作的研究。分解過程本身被稱為傅里葉變換。它的輸出，即傅里葉變換，常常被賦予一個更具體的名稱，這取決于被變換的函數的域和其他屬性。此外，隨著時間的推移，傅里葉分析的原始概念已經被擴展到適用于越來越多的抽象和一般情況，一般的領域通常被稱為諧波分析。每一個用于分析的變換（見傅里葉相關變換列表）都有一個相應的反變換，可用于綜合分析。要使用傅里葉分析，數據必須是等距的。已經開發了不同的方法來分析不等距的數據，特別是最小二乘頻譜分析（LSSA）方法，該方法使用正弦波的最小二乘擬合數據樣本，與傅里葉分析類似。傅里葉分析是科學中最常用的頻譜方法，通常會提高長間隔記錄中的長周期噪聲；LSSA可以減輕這種問題。

傅里葉分析有許多科學應用--在物理學、偏微分方程、數論、組合學、信號處理、數字圖像處理、概率論、統計學、法醫學、期權定價、密碼學、數值分析、聲學、海洋學、聲納、光學、衍射、幾何學、蛋白質結構分析以及其他領域。這種廣泛的適用性源于變換的許多有用特性。變換是線性算子，通過適當的歸一化，也是單一的（這一特性被稱為Parseval定理或更普遍的Plancherel定理，最普遍的是通過Pontryagin二元性）。變換通常是可逆的。指數函數是微分的特征函數，這意味著這種表示方法將具有恒定系數的線性微分方程轉化為普通代數方程。因此，線性時變系統的行為可以在每個頻率上獨立分析。根據卷積定理，傅里葉變換將復雜的卷積操作變成簡單的乘法，這意味著它們提供了一種有效的方法來計算基于卷積的操作，如信號過濾、多項式乘法和大數乘法。離散版的傅里葉變換（見下文）可以在計算機上使用快速傅里葉變換（FFT）算法進行快速評估。

在法醫領域，實驗室紅外分光光度計使用傅里葉變換分析來測量材料在紅外光譜中會吸收的光的波長。傅立葉方法被用來對測量信號進行解碼并記錄波長數據。而通過使用計算機，這些傅里葉計算可以迅速進行，因此在幾秒鐘內，由計算機操作的FT-IR儀器可以產生與棱鏡儀器相當的紅外吸收模式。傅立葉變換作為一種信號的緊湊表示法也很有用。例如，JPEG壓縮使用了數字圖像的小方塊的傅里葉變換（離散余弦變換）的變體。每個正方形的傅里葉分量被四舍五入到較低的算術精度，弱的分量被完全消除，因此剩下的分量可以被非常緊湊地存儲。在圖像重建中，每個圖像方塊都是由保留的近似傅里葉變換的分量重新組合而成的，然后再進行反變換，產生原始圖像的近似值。在信號處理中，傅里葉變換通常采用一個時間序列或一個連續時間的函數，并將其映射為一個頻譜。