在數學中，近似理論關注的是如何用更簡單的函數進行最佳的近似，以及定量地描述由此帶來的誤差。請注意，什么是xxx的和更簡單的將取決于應用。一個密切相關的課題是用廣義傅里葉數列對函數進行逼近，也就是基于正交多項式的數列之和的逼近。一個特別令人感興趣的問題是在計算機數學庫中近似一個函數，使用可以在計算機或計算器上執行的操作（例如加法和乘法），使結果盡可能接近實際的函數。這通常是用多項式或有理數（多項式的比率）近似來完成的。其目的是使近似值盡可能接近實際函數，通常其精度接近于底層計算機的浮點運算。這可以通過使用高度的多項式和/或縮小多項式近似函數的域來實現。縮小域通常可以通過使用被近似的函數的各種加法或縮放公式來實現。現代數學庫通常將域縮小為許多小段，并對每段使用低度多項式。

一旦選擇了域（通常是一個區間）和多項式的度數，那么多項式本身的選擇要使最壞情況下的誤差最小。也就是說，我們的目標是最小化以下的xxx值∣P(x)-f(x)∣{displaystyle/midP(x)-f(x)/mid}，其中P(x)是一個在中國的數據，而f(x)是一個在中國的數據。其中P(x)是近似多項式，f(x)是實際函數，x在所選區間內變化。對于行為良好的函數，存在一個N次方的多項式，它將導致誤差曲線在以下范圍內來回擺動.可以看出，存在一個N度的多項式，可以插值曲線上的N+1個點。這樣的多項式總是最優的。對于不存在這樣的多項式的函數f(x)來說，是有可能的，但在實踐中很少發生。例如，右圖顯示了N=4時對log(x)和exp(x)的近似誤差。最佳多項式的紅色曲線是水平的，也就是說，它們在以下幾條曲線之間搖擺不定正是如此。請注意，在每種情況下，極值的數量是N+2，也就是6。為了證明這在一般情況下是真實的，假設P是一個N度的多項式，具有所述的性質，即它產生的誤差函數有N+2個極值，符號交替且大小相等。

右邊的紅圖顯示了N=4時這個誤差函數可能是什么樣子。假設Q(x)（其誤差函數在右邊顯示為藍色）是另一個N度的多項式，它比P更好地接近f。特別是，對于P-f的極值出現的每個值xi，Q都比P更接近f，所以因此，從圖中可以看出，[P(x)-f(x)]-[Q(x)-f(x)]對于xi的N+2個值必須交替使用符號。但是[P(x)-f(x)]-[Q(x)-f(x)]還原為P(x)-Q(x)，這是一個N度的多項式。這個函數至少有N+1次符號變化，所以根據中間值定理，它有N+1個零，這對于N度的多項式是不可能的。

人們可以通過用切比雪夫多項式擴展給定的函數，然后在所需的度數上切斷擴展，從而獲得非常接近最優的多項式。這與函數的傅里葉分析類似，使用切比雪夫多項式而不是通常的三角函數。如果人們計算一個函數的切比雪夫展開中的系數。然后切斷這個系列