蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法，或稱蒙特卡洛實驗，是一類廣泛的計算算法，依靠重復隨機抽樣來獲得數值結果。其基本概念是利用隨機性來解決原則上可能是確定性的問題。它們經常用于物理和數學問題，在難以或無法使用其他方法時最為有用。蒙特卡洛方法主要用于三類問題：優化、數字積分和從概率分布中生成抽樣。在與物理有關的問題中，蒙特卡洛方法對模擬具有許多耦合自由度的系統很有用，如流體、無序材料、強耦合固體和細胞結構。其他例子包括對輸入有重大不確定性的現象進行建模，如商業中的風險計算，以及在數學中，對具有復雜邊界條件的多維定積分的評估。在應用于系統工程問題上（太空、石油勘探、飛機設計等），基于蒙特卡洛的失敗、成本超支和進度超支的預測通常比人類的直覺或其他軟方法更好。原則上，蒙特卡洛方法可以用來解決任何具有概率解釋的問題。根據大數法則，一些隨機變量的預期值所描述的積分可以通過取該變量的獨立樣本的經驗平均值（又稱"樣本平均值"）來近似。當變量的概率分布被參數化時，數學家經常使用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）采樣器。

根據遍歷定理，靜止分布是由MCMC采樣器的隨機狀態的經驗度量來近似的。在其他問題中，目標是從滿足非線性進化方程的概率分布序列中生成抽樣。這些概率分布流總是可以被解釋為馬爾科夫過程的隨機狀態的分布，其過渡概率取決于當前隨機狀態的分布。在其他情況下，我們得到的是采樣復雜程度越來越高的概率分布流。這些模型也可以被看作是非線性馬爾可夫鏈的隨機狀態的演變規律。模擬這些復雜的非線性馬爾可夫過程的自然方法是對該過程的多個副本進行采樣，在演化方程中用采樣的經驗度量代替隨機狀態的未知分布。與傳統的蒙特卡洛和MCMC方法相反，這些均值場粒子技術依賴于連續的相互作用的樣本。

術語平均場反映了這樣一個事實：每個樣本（又稱粒子、個體、步行者、代理、生物或表型）都與過程的經驗度量相互作用。當系統的規模趨于無限大時，這些隨機的經驗度量就會收斂到非線性馬爾可夫鏈的隨機狀態的確定性分布，這樣，粒子之間的統計互動就消失了。盡管其概念和算法簡單，但與蒙特卡洛模擬相關的計算成本可能高得驚人。一般來說，該方法需要許多樣本才能得到一個好的近似值，如果單個樣本的處理時間很高，可能會產生一個任意大的總運行時間。盡管在非常復雜的問題中這是一個嚴重的限制，但算法令人尷尬的并行性使得這種巨大的成本可以通過本地處理器、集群、云計算、GPU、FPGA等的并行計算策略來降低（也許是可行的水平）。

蒙特卡洛方法各不相同，但往往遵循一個特定的模式。

從該域的概率分布中隨機產生輸入對輸入進行確定性的計算匯總結果例如，考慮一個象限（圓形區域）刻在一個單位正方形中。鑒于它們的面積之比為π/4，π的值可以用蒙特卡洛方法進行近似計算。