模糊集運算

模糊集運算是對清晰集運算的概括，適用于模糊集。事實上，可能的概括不止一個。最廣泛使用的運算被稱為標準模糊集運算；它們包括：模糊補集、模糊交集和模糊聯合。

標準模糊集運算

設A和B是模糊集，A,B?U，u是U宇宙中的任何元素（如值）：u∈U。標準補數一般來說，三聯體（i,u,n）被稱為DeMorgan三聯體，如果i是一個t規范，u是一個t規范（又稱s規范），n是一個強否定式，因此，對于所有x,y∈[0,1]，以下情況成立。(廣義的DeMorgan關系)。這意味著下面詳細提供的公理。模糊補體μA(x)被定義為x屬于A的程度。讓?A表示類型為c的A的模糊補體，那么μ?A(x)是x屬于?A的程度，以及x不屬于A的程度（因此μA（x）是x不屬于?A的程度）。讓一個補充?A由一個函數定義c:[0,1]→[0,1]對于所有x∈U：μ?A(x)=c(μA(x))

模糊補充的公理

公理c1.邊界條件c(0)=1，c(1)=0公理c2.單調性對于所有a，b∈[0，1]，如果a<b，則c（a）>c（b）公理c3.連續性c是連續函數。公理c4.內卷c是一個內卷，這意味著對于每個a∈[0,1]，c(c(a))=ac是一個強否定者（又稱模糊補充）。一個滿足公理c1和c3的函數c至少有一個fixpointa*，c(a*)=a*，如果公理c2也得到滿足，則正好有一個這樣的fixpoint。對于標準的否定子c(x)=1-x，xxx的費點是a*=0.5。

模糊交集

兩個模糊集A和B的交集一般是由單位區間上的二元運算來指定的，這個函數的形式為i:[0,1]×[0,1]→[0,1]。對于所有x∈U：μA∩B(x)=i[μA(x),μB(x)]。

模糊相交的公理

公理i1.邊界條件i(a,1)=a公理i2.單調性b≤d意味著i（a，b）≤i（a，d）公理i3.共軛性i(a,b)=i(b,a)公理i4.關聯性i(a,i(b,d))=i(i(a,b),d)公理i5.連續性i是一個連續函數公理i6.次冪性i(a,a)<aforall0<a<1公理i7.嚴格的單調性i(a1,b1)<i(a2,b2)如果a1<a2且b1<b2公理i1到i4定義了一個t-norm（又稱模糊相交）。標準的t-normmin是xxx的等值t-norm（也就是說，i(a1,a1)=a對于所有a∈[0,1]）。

模糊聯盟

兩個模糊集A和B的聯盟一般由單位區間函數上的二元操作指定，其形式為u:[0,1]×[0,1]→[0,1]。對于所有x∈U：μA∪B（x）=u[μA（x），μB（x）]。

模糊聯合的公理

公理u1.邊界條件u(a,0)=u(0,a)=a公理u2.單調性b≤d意味著u（a，b）≤u（a，d）公理u3.共軛性u(a,b)=u(b,a)公理u4.關聯性u（a，u（b，d））=u（u（a，b），d）公理u5.連續性u是一個連續函數公理u6.超冪性u(a,a)>a對于所有0<a<1公理u7.嚴格的單調性a1<a2和b1<b2意味著u(a1,b1)<u(a2,b2)公理u1到u4定義了一個t-orm（又稱s-orm或模糊聯合）。標準的t-conormmax是xxx的empotentt-conorm（即u(a1,a1)=aforalla∈[0,1]）。聚合操作模糊集上的聚合操作是將幾個模糊集以一種理想的方式結合起來，產生一個單一的模糊集的操作。對n個模糊集（2≤n）的聚集操作由一個函數定義h:[0,1]n→[0,1]。

聚合操作模糊集的公理

公理h1。邊界條件h(0,0,...,0)=0，h(1,1,...,1)=1公理h2.單調性對于任何一對<a1,a2,...,an>和<b1,b2,...,bn>的n個元組，如ai,bi∈[0,1]，對于所有i∈Nn，如果ai≤bi，對于所有i∈Nn，則h(a1,a2,...,an)≤h(a1,a2,...,an)公理h3.連續性h是一個連續的函數。