• 可還原性公理

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    可還原性公理

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    可還原性公理是由伯特蘭-羅素在20世紀初提出的,作為他的類型的ramified理論的一部分。羅素設計并介紹了公理,試圖管理的矛盾,他已經發現在他的分析集合理論

    可還原性公理的歷史

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    隨著羅素發現(1901年,1902年)戈特洛布-弗雷格的1879年Begriffsschrift中的一個悖論,以及弗雷格對這一悖論的承認(1902年),羅素在1903年的《數學原理》中暫時將他的解決方案作為附錄B:類型學說。這個矛盾可以說是所有不包含自己為元素的類的矛盾。在這個附錄的末尾,羅素斷言他的學說會解決弗雷格提出的直接問題,但至少有一個密切類似的矛盾可能無法通過這個學說解決。所有邏輯對象或所有命題的整體性,似乎涉及一個基本的邏輯困難。這個困難的完整解決方案可能是什么,我還沒有成功地發現;但由于它影響到推理的根本基礎......1903年,羅素將預測性函數定義為那些其順序比函數表達中出現的最高順序函數多一個的函數。雖然這些對當時的情況來說沒有問題,但暗示性函數卻不得不被禁止。一個其參數是一個個體并且其值總是一個一階命題的函數將被稱為一階函數。一個涉及一階函數或命題作為表觀變量的函數將被稱為二階函數,以此類推。一個變量的函數,如果比它的參數的順序次之,將被稱為謂詞函數;同樣的名稱將被賦予一個多個變量的函數[等等]。他在論文后面以稍微不同的方式重復了這個定義(同時還有一個微妙的禁令,他們將在1913年更清楚地表達)。如果x是一個個體或一個命題,那么x的謂語函數是一個其值為x的下一個類型的命題的函數,如果x是一個函數,那么x的值的函數。它可以被描述為這樣一個函數,其中的表觀變量,如果有的話,都是與x相同的類型或較低的類型;如果一個變量可以明顯地作為x的參數出現,或作為x的參數的參數,等等,那么它的類型就比x低。[強調是后加的]這種用法一直延續到阿爾弗雷德-諾思-懷特海和羅素1913年的《數學原理》,其中作者在第二章中用了一整個小節。惡性循環原則:我們將把一個變量的函數定義為預言性的,當它比它的參數高一階時,即與它有該參數相適應的最低階。

    基本公理

    ..一個由多個參數組成的函數是謂語性的,如果它有一個參數,當其他參數被賦值時,我們得到一個未確定的參數的謂語性函數。他們再次提出,預測性函數的定義是不違反《邏輯類型理論》的函數。事實上,作者斷言這種違反是無法[實現]的,也是不可能的。因此,我們從惡性循環原則和直接檢查中得出結論,一個給定的對象a可以作為參數的函數不可能成為彼此的參數,而且它們與可以作為參數的函數沒有共同的術語。因此,我們被引導去構建一個層次結構。作者強調了不可能這個詞。如果我們沒有弄錯的話,不僅一個函數φz不可能有它自己或從它派生出來的任何東西作為參數,而且,如果ψz是另一個函數,存在著φa和ψa都有意義的參數a,那么ψz和從它派生出來的任何東西都不能明顯地成為φz的參數。

    羅素的可還原性公理

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    可還原性公理指出,任何真值函數(即命題函數)都可以由一個形式上等同的謂詞真值函數來表達。它在伯特蘭-羅素(BertrandRussell)(1908)的《數學邏輯》中首次出現,是以類型理論為基礎的,但只是經過了大約五年的試驗和錯誤。用他的話說。因此,一個個體的謂語函數是一個一階函數;而對于更高的參數類型,謂語函數取代了一階函數在個體方面的位置

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    1. 可還原性公理
    2. 可還原性公理的歷史
    3. 羅素的可還原性公理

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