在數理邏輯中，新基礎（NF）是一種公理集合理論，由威拉德-范-奧曼-奎因設想為《數學原理》中類型理論的簡化。奎因在1937年一篇題為《數學邏輯的新基礎》的文章中首次提出了NF，因此得名。本條目的大部分內容討論了NFU，這是NF的一個重要變體，歸功于詹森（1969），并由霍姆斯（1998）澄清。在1940年和1951年的修訂中，奎因引入了NF的擴展，有時被稱為數理邏輯或ML，它包括適當的類以及集合。新基礎有一個普遍的集合，所以它是一個非井底的集合理論。也就是說，它是一個公理集合理論，允許無限的成員遞減鏈，如......xn∈xn-1∈......∈x2∈x1。它避免了羅素悖論，只允許用理解力的公理模式來定義可分層的公式。例如，x∈y是一個可分層的公式，但x∈x則不是。

羅素未定型集合理論（TST）的基本謂詞，即類型理論的精簡版，是平等().TST有一個線性的類型層次：類型0包括其他未描述的個體。對于每個（元）自然數n，類型n+1對象是類型n對象的集合；類型n的集合有類型n-1的成員。通過身份連接的對象必須具有相同的類型。下面兩個原子公式簡潔地描述了類型化規則。延伸性：具有相同成員的相同（正）類型的集合是相等的；一個理解性公理模式，即：如果{displaystylephi(x{n})}是一個公式，那么這個集合的成員就有可能是一個相同的成員。是一個公式，那么這個集合{displaystyle{x{n}mid`phi(x{n})}{n+1}!換句話說，給定任何公式這種類型的理論比最早在《數學原理》中提出的理論要簡單得多，因為后者包括關系的類型，其參數不一定都是相同的類型。1914年，諾伯特-維納(NorbertWiener)展示了如何將有序對作為集合的編碼，使得消除關系類型而支持這里描述的集合的線性層次成為可能。

公理和分層NewFoundations(NF)的良好形式公式與TST的良好形式公式相同，但抹去了類型注釋。NF的公理是。延伸性。具有相同元素的兩個對象是同一個對象；一個理解性模式。按照慣例，NF的理解模式是用分層公式的概念來表述的，沒有直接提到類型。一個公式如果存在一個函數f，從j的片斷出發，就可以說是分層的。

的句法到自然數的函數，這樣對于任何原子子formula即使是隱含在分層概念中的對類型的間接引用也可以被消除。TheodoreHailperin在1944年表明，Comprehension等同于其實例的有限聯結，因此NF可以被有限公理化，而無需提及類型的概念。Comprehension似乎與天真的集合理論中的問題相類似，但事實并非如此。

關系和函數在TST（以及NF和NFU）中以通常的方式定義為有序對的集合。有序對的通常定義是由Kuratowski在1921年首次提出的，對于NF和相關理論來說有一個嚴重的缺點：所產生的有序對必然有一個比其參數類型高兩倍的類型（它是左和右的投影）。