內部代數

在抽象代數中，內部代數是某種類型的代數結構，它編碼了一個集合的拓撲學內部的概念。

內部代數對于拓撲學和模態邏輯S4來說，就像布爾代數對于集合論和普通命題邏輯一樣。內部代數構成了模態代數的一個種類。

內部代數是一種代數結構，其簽名為是一個布爾代數，后綴I指定一個單項運算符，即內部運算符，滿足相同的條件。xI≤xxII=xI(xy)I=xIyI1I=1xI被稱為x的內部。內部算子的對偶是封閉算子C，定義為xC=((x′)I)′.xC被稱為x的封閉。xC≥xxCC=xC(x+y)C=xC+yC0C=0如果閉合算子被當作基元，內部算子可以被定義為xI=((x′)C)′。

因此，可以用閉合算子代替內部算子來表述內部矩陣的理論，在這種情況下，可以考慮形式為?S,-,+,′,0,1,C?的閉合矩陣，其中?S,-,+,′,0,1?又是一個布爾代數，C滿足上述閉合算子的特性。

閉合和內部代數形成對偶，是有算子的布爾代數的典型實例。

這方面的早期文獻（主要是波蘭拓撲學）引用了閉合算子，但在WimBlok的工作之后，內部算子的表述最終成為規范。

內部代數中滿足xI=x條件的元素被稱為開放元素。開放元素的補體被稱為封閉元素，其特征是條件xC=x。

一個元素的內部總是開放的，一個元素的封閉總是封閉的。封閉元素的內部被稱為有規律的開放，開放元素的封閉被稱為有規律的封閉。

既開放又封閉的元素被稱為clopen。0和1是閉合的。如果一個內部代數的所有元素都是開放的（因此也是閉合的），那么這個內部代數就被稱為布爾型。

布爾內部代數可以與普通的布爾代數相鑒別，因為它們的內部和閉合運算符沒有提供有意義的額外結構。

一個特殊的情況是瑣碎的內部矩陣類，它是以0=1為特征的單元素內部矩陣。

內層bras，由于是代數結構，所以有同態性。給定兩個內部代數A和B，當且僅當f是A和B的底層布爾代數之間的同態性時，一個映射f：A→B是一個內部代數同態性，它也保留了內部和閉合。因此。f(xI)=f(x)I;f(xC)=f(x)C.拓撲結構拓撲結構是另一個重要的，也是更普遍的一類內部代數之間的形態關系。

當且僅當f是A和B的基礎布爾數組之間的同態性時，一個映射f：A→B是一個拓撲結構，它也保留了A的開放元素和封閉元素。因此，如果x在A中是開放的，那么f(x)在B中是開放的；如果x在A中是封閉的，那么f(x)在B中是封閉的（這種形態也被稱為穩定同態和封閉代數半同態）。

每個內部代數同構都是一個拓撲，但不是每個拓撲都是內部代數同構。

早期的研究經常考慮內部代數之間的映射，這些映射是基礎布爾代數的同態性，但不一定保留內部或閉合算子。這樣的映射被稱為布爾同構。(閉合同構或拓撲同構被用于保留這些運算的情況，但現在這個術語是多余的，因為普遍代數中同構的標準定義要求它保留所有的運算）。

涉及到可數完整內部代數的應用（其中可數滿足和連接總是存在的，也稱為σ-完整）通常使用可數完整布爾同態，也稱為布爾σ同態--這些保留可數滿足和連接。

最早將連續性泛化到內部代數的是Sikorski的基于連續映射的反像映射。這是一個布爾同構，保留了序列的聯合，并將一個反像的閉合包含在閉合的反像中。

因此，Sikorski將連續同構定義為兩個σ-完整的內涵式之間的布爾σ同構f，使得f（x）C≤f（xC）。

這個定義有幾個困難。該結構的作用是禁忌地產生一個連續地圖的對偶，而不是一個泛化。