希爾伯特變換

在數學和信號處理中，希爾伯特變換是一個特定的線性算子，它取一個實變的函數u(t)，并產生另一個實變的函數H(u)(t)。這個線性算子是通過與函數1/( π t ){1/(πpi t)}的卷積得到的（見§定義）。希爾伯特變換在頻域中有一個特別簡單的表示。它給一個函數的每個頻率分量帶來±90°（π?2弧度）的相移，相移的符號取決于頻率的符號（見§與傅里葉變換的關系）。希爾伯特變換在信號處理中很重要，它是實值信號u(t)的分析表示的一個組成部分。希爾伯特變換是由大衛-希爾伯特（David Hilbert）在這種情況下首次提出的，用于解決分析函數的黎曼-希爾伯特問題的一個特殊情況。

u的希爾伯特變換可以看作是u(t)與函數h(t)=1/π t的卷積，即所謂的Cauchy核。由于1?t在t=0時不可整定，定義卷積的積分并不總是收斂。相反，希爾伯特變換是用考奇主值（這里用p.v.表示）定義的。

只要這個積分作為一個主值存在。這正是u與回調分布p.v. 1/π t的卷積。另外，通過改變變量，

當希爾伯特變換連續兩次應用于一個函數u時，結果是。

只要定義兩個迭代的積分在合適的意義上收斂。特別是，反變換是H 3。.通過考慮希爾伯特變換對u(t)的傅里葉變換的影響，可以最容易地看到這一事實。

對于一個上半平面的解析函數，希爾伯特變換描述了邊界值的實部和虛部之間的關系。也就是說，如果f(z)在上半復平面{z : Im{z}>0}中是解析的，而u(t)在上半復平面{z : Im{z}>0}中是解析的。直到一個加法常數，只要這個希爾伯特變換存在。

在信號處理中，u(t)的希爾伯特變換通常用u ^ ( t )表示。然而，在數學中，這個符號已經被廣泛用于表示u(t)的傅里葉變換。偶爾，希爾伯特變換可以用u ~ ( t )來表示。此外，許多資料將希爾伯特變換定義為這里定義的負數。

希爾伯特的工作主要是關于定義在圓上的函數的希爾伯特變換。他早期與離散希爾伯特變換有關的一些工作可以追溯到他在哥廷根的講座。這些成果后來由赫爾曼-韋爾在他的論文中發表。舒爾改進了希爾伯特變換的結果，并將其擴展到積分情況。

希爾伯特變換是一個乘法算子。H的乘數是σH(ω) = -i sgn(ω)，其中sgn是符號函數。