在幾何學中，形狀的凸包或凸包絡或凸閉包是包含它的最小凸集。 凸包可以定義為包含歐幾里德空間給定子集的所有凸集的交集，或者等效地定義為子集中所有凸點組合的集合。 對于平面的有界子集，凸包可以可視化為由圍繞子集拉伸的橡皮筋包圍的形狀。

開集的凸包是開的，緊集的凸包是緊的。 每個緊致凸集都是其極值點的凸包。 凸包算子是閉包算子的一個例子，每個反擬陣都可以通過將這個閉包算子應用于有限的點集來表示。尋找平面或其他低點的有限點集的凸包的算法問題 維歐幾里德空間及其相交半空間的對偶問題是計算幾何的基本問題。 對于二維或三維點集，它們可以在 O ( n log ? n ) {\displaystyle O(n\log n)} 時間內解決，并且及時匹配上界定理給出的最壞情況輸出復雜度 在更高的維度。

與有限點集一樣，凸包也被研究用于簡單的多邊形、布朗運動、空間曲線和函數的 epigraphs。 凸包在數學、統計學、組合優化、經濟學、幾何建模和動物行為學中有著廣泛的應用。 相關結構包括正交凸包、凸層、Delaunay 三角剖分和 Voronoi 圖以及凸頭骨。

如果歐幾里德空間中的一組點包含連接其每對點的線段，則它被定義為凸的。 給定集合 X {\displaystyle X} 的凸包可以定義為

• 包含 X {\displaystyle X} 的（xxx）最小凸集
• 包含X {\displaystyle X}的所有凸集的交集
• X {\displaystyle X}中點的所有凸組合的集合
• 所有單純形與 X {\displaystyle X} 中的頂點的并集

對于歐幾里德平面中的有界集合，并非都在一條線上，凸包的邊界是最小周長包含 X {\displaystyle X} 的簡單閉合曲線。 可以想象拉伸一根橡皮筋使其圍繞整個集合 S {\displaystyle S} 然后松開它，讓它收縮； 當它變緊時，它包圍了 S {\displaystyle S} 的凸包。 該公式不會立即推廣到更高維度：對于三維空間中的有限點集，點的生成樹的鄰域以任意小的表面積包圍它們，小于凸包的表面積。 然而，在更高的維度中，尋找給定形狀上方的最小能量表面的障礙物問題的變體可以將凸包作為它們的解決方案。

對于三維物體，xxx個定義指出凸包是物體的最小可能凸邊界體積。使用凸集交集的定義可以擴展到非歐幾里德幾何，使用凸組合的定義可以擴展 從歐氏空間到任意實向量空間或仿射空間； 凸包也可以以更抽象的方式推廣到定向擬陣。

xxx個定義是否有意義并不明顯：為什么對于每個 X {\displaystyle X} 應該存在一個包含 X {\displaystyle X} 的xxx最小凸集？ 然而，第二個定義，即包含 X {\displaystyle X} 的所有凸集的交集，是明確定義的。 它是所有其他包含 X {\displaystyle X} 的凸集 Y {\displaystyle Y} 的子集，因為 Y {\displaystyle Y} 包含在相交的集合中。 因此，它正是包含 X {\displaystyle X} 的xxx最小凸集。 因此，前兩個定義是等價的。

每個包含 X {\displaystyle X} 的凸集必須（假設它是凸的）包含 X {\displaystyle X} 中點的所有凸組合，因此所有凸組合的集合包含在所有 包含 X {\displaystyle X} 的凸集。 相反，所有凸組合的集合本身就是一個包含 X {\displaystyle X} 的凸集，因此它也包含所有包含 X {\displaystyle X} 的凸集的交集，因此第二個和第三個定義是等價的 .

事實上，根據 Carathéodory 定理，如果 X {\displaystyle X} 是 d {\displaystyle d} 維歐幾里得空間的子集，則 X {\displaystyle X} 中有限多個點的每個凸組合 也是 X {\displaystyle X} 中至多 d + 1 {\displaystyle d+1} 點的凸組合。