混合系統
編輯混合系統是一種同時表現出連續和離散動態行為的動態系統——一個既可以流動(用微分方程描述)又可以跳躍(用狀態機或自動機描述)的系統。 通常,術語混合動力系統用于區分混合系統,例如結合了神經網絡和模糊邏輯或電氣和機械傳動系統的混合系統。 混合系統的好處是可以在其結構中包含更大類的系統,從而可以更靈活地對動態現象進行建模。
通常,混合系統的狀態由連續變量和離散模式的值定義。 狀態根據流條件連續變化,或根據控制圖離散變化。 只要所謂的不變量保持不變,就允許連續流動,而只要滿足給定的跳躍條件,就會發生離散轉換。 離散轉換可能與事件相關聯。
例子
編輯混合系統已被用于對多個信息物理系統進行建模,包括具有影響的物理系統、邏輯動態控制器,甚至互聯網擁塞。
彈跳球
混合系統的典型示例是彈跳球,這是一種具有沖擊力的物理系統。 在這里,球(被認為是質點)從初始高度落下并從地面反彈,每次反彈都會消耗能量。 球在每次彈跳之間表現出連續的動態; 然而,當球撞擊地面時,它的速度會經歷一個模擬非彈性碰撞后的離散變化。 彈跳球的數學描述如下。 令 x 1 {\\displaystyle x_{1}} 為球的高度,x 2 {\\displaystyle x_{2}} 為球的速度。
這些方程表明,當球在地面上方時,它會被重力吸引到地面上。
這就是說,當球的高度為零(它已經撞擊地面)時,它的速度反轉并降低了 γ {\\displaystyle \\gamma } 倍。 實際上,這描述了非彈性碰撞的性質。
彈跳球是一個特別有趣的混合系統,因為它展示了芝諾行為。 芝諾行為有嚴格的數學定義,但可以非正式地描述為系統在有限時間內進行無限次跳躍。 在這個例子中,球每次彈跳都會失去能量,使得隨后的跳躍(與地面的撞擊)在時間上越來越近。
值得注意的是,當且僅當添加地面與球之間的接觸力時,動力學模型才是完整的。 事實上,如果沒有力,就無法正確定義彈跳球,從機械的角度來看,該模型毫無意義。 表示球與地面相互作用的最簡單的接觸模型是力與球與地面之間的距離(間隙)之間的互補關系。
這樣的接觸模型不包含磁力,也不包含膠合效應 . 當存在互補關系時,可以在影響累積和消失后繼續整合系統:系統的平衡明確定義為球在地面上的靜態平衡,在重力補償下 接觸力 λ {\\displaystyle \\lambda } 。 從基本的凸分析中還注意到,互補關系可以等效地重寫為法錐的包含,因此彈球動力學是法錐對凸集的微分包含。
混合系統驗證
有一些方法可以自動證明混合系統的屬性(例如,下面提到的一些工具)。 證明混合系統安全性的常用技術是可達集的計算、抽象細化和屏障證書。
大多數驗證任務是不可判定的,使得通用驗證算法無法實現。 取而代之的是,分析這些工具在基準問題上的能力。
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