在數學中，聯合譜半徑是矩陣譜半徑的經典概念對矩陣集的推廣。 近年來，這一概念已在大量工程領域得到應用，并且仍然是一個活躍的研究課題。

一組矩陣的聯合譜半徑是該組矩陣乘積的xxx漸近增長率。 對于有限（或更一般地緊湊）矩陣集

可以證明極限存在并且數量實際上不依賴于所選擇的矩陣范數（這對任何范數都是正確的，但特別容易看出范數是否是乘法的）。 聯合譜半徑由麻省理工學院的兩位數學家 Gian-Carlo Rota 和 Gilbert Strang 于 1960 年提出，但隨著 Ingrid Daubechies 和 Jeffrey Lagarias 的工作開始引起人們的注意。 他們表明，聯合譜半徑可用于描述某些小波函數的平滑特性。 從那時起，已經提出了大量的應用。 眾所周知，聯合譜半徑量是 NP 難計算或近似的，即使集合 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 僅由兩個矩陣組成，兩個矩陣的所有非零元素都是 被限制為相等。 此外，問題 ρ ≤ 1 ? {\displaystyle \rho \leq 1?} 是一個不可判定的問題。 盡管如此，近年來對它的理解已經取得了很大進展，而且在實踐中似乎常常可以計算出令人滿意的精度的聯合譜半徑，而且它還可以為工程和數學問題帶來有趣的見解。

盡管聯合譜半徑可計算性的理論結果是否定的，但已經提出了在實踐中表現良好的方法。 算法甚至是已知的，它可以在先驗可計算的時間內達到任意精度。 這些算法可以看作是試圖逼近特定向量范數的單位球，稱為極值范數。 人們通常將此類算法分為兩類：xxx類稱為多面體范數方法，通過計算點的長軌跡來構造極值范數。 這些方法的一個優點是，在有利的情況下，它可以找到聯合光譜半徑的精確值，并提供這是精確值的證明。

第二類方法使用現代優化技術逼近極值范數，例如橢球范數近似、半定規劃、平方和和圓錐規劃。 這些方法的優點是它們易于實施，并且在實踐中，它們通常提供聯合光譜半徑的最佳界限。

與聯合譜半徑的可計算性相關

這個猜想于 1995 年提出，在 2003 年被證明是錯誤的。該參考文獻中提供的反例使用了先進的測度論思想。 隨后，提供了許多其他反例，包括使用簡單組合屬性矩陣的基本反例和基于動力系統屬性的反例。 最近提出了一個明確的反例。與這個猜想相關的許多問題仍然懸而未決，例如知道它是否適用于二進制矩陣對的問題。

引入聯合譜半徑是為了將其解釋為離散時間切換動態系統的穩定性條件。 實際上，由方程定義的系統

當 Ingrid Daubechies 和 Jeffrey Lagarias 表明聯合譜半徑決定了某些小波函數的連續性時，聯合譜半徑開始流行。