在控制理論中，離散李亞普諾夫方程

其中 Q {\\displaystyle Q} 是厄米矩陣，而 A H {\\displaystyle A{H}} 是 A {\\displaystyle A} 的共軛轉置。

連續的李亞普諾夫方程

李亞普諾夫方法出現在控制理論的許多分支中，例如穩定性分析和最優控制。 這個方程式和相關方程式以俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫 (Aleksandr Lyapunov) 的名字命名。

在下面的定理 是對稱的。 符號 P > 0 {\\displaystyle P>0} 表示矩陣 P {\\displaystyle P} 是正定的。

定理（連續時間版本）。 給定任何 Q > 0 {\\displaystyle Q>0} ，存在唯一的 P >; 0 {\\displaystyle P>0} 滿足 A T P + P A + Q = 0 {\\displaystyle A{T}P+PA+Q=0} 當且僅當線性系統 x ˙ = A x {\\displaystyle { \\dot {x}}=Ax} 是全局漸近穩定的。 二次函數 V ( x ) = x T P x {\\displaystyle V(x)=x{T}Px} 是李雅普諾夫函數，可用于驗證穩定性。

定理（離散時間版本）。? ?是李亞普諾夫函數。

由于李亞普諾夫方程序的特定結構，可以使用專門的算法可以更快地產生解決方案。 對于離散情況，通常使用 Kitagawa 的 Schur 方法。 對于連續的李亞普諾夫方程序，可以使用 Bartels–Stewart 算法。

定義矢量化運算符 vec ? ( A ) {\\displaystyle \\operatorname {vec} (A)} 為堆疊矩陣 A {\\displaystyle A} 和 A ? B {\\displaystyle A\\otimes B 的列 } 作為A {\\displaystyle A} 和B {\\displaystyle B} 的克羅內克積，連續時間和離散時間李亞普諾夫方法s可以表示為矩陣方程的解。 此外，如果矩陣 A {\\displaystyle A} 是穩定的，解也可以表示為積分（連續時間情況）或無窮和（離散時間情況）。

其中 I n 2 {\\displaystyle I_{n{2}}} 是一致的單位矩陣，而 A ˉ {\\displaystyle {\\bar {A}}} 是 A {\\displaystyle 的逐元素復共軛 一種} 。

此外，如果 A {\\displaystyle A} 是穩定的

為了比較，考慮一維的情況

再次使用 Kronecker 乘積符號和矢量化算子，可以得到矩陣方程

其中 A ˉ {\\displaystyle {\\bar {A}}} 表示通過復共軛 A {\\displaystyle A} 的條目獲得的矩陣。