模除

在計算中，模運算返回除法的余數或帶符號的余數，在一個數除以另一個數后（稱為運算的模數）。

給定兩個正數 a 和 n，模 n（通常縮寫為 a mod n）是 a 除以 n 的歐幾里德除法的余數，其中 a 是被除數，n 是除數。

例如，表達式 5 mod 2 的計算結果為 1，因為 5 除以 2 的商為 2，余數為 1，而 9 mod 3 的計算結果為 0，因為 9 除以 3 的商為 3，余數為 1 0的余數； 3 乘以 3 后，9 無需再減去任何東西。

雖然通常使用 a 和 n 都是整數來執行，但許多計算系統現在允許其他類型的數字操作數。 n 的整數模運算的值范圍是 0 到 n ? 1（含 0 和 1）（模 1 始終為 0；模 0 未定義，在某些編程語言中可能導致被零除錯誤）。 有關在數論中應用的較早和相關的約定，請參閱模塊化算術。

當 a 或 n 中恰好有一個為負數時，樸素的定義就失效了，并且編程語言在這些值的定義方式上有所不同。

在數學中，模運算的結果是一個等價類，該類中的任何一個成員都可以被選為代表； 然而，通常的代表是最小正余數，屬于該類的最小非負整數（即歐幾里得除法的余數）。 然而，其他約定也是可能的。 計算機和計算器有多種存儲和表示數字的方法； 因此，它們對模運算的定義取決于編程語言或底層硬件。

在幾乎所有的計算系統中，a 除以 n 的商 q 和余數 r 都滿足以下條件：

(1)

然而，如果余數不為零，這仍然會留下符號歧義：出現兩種可能的余數選擇，一種為負，另一種為正，并且出現兩種可能的商選擇。 在數論中，總是選擇正余數，但在計算中，編程語言根據語言和 a 或 n 的符號來選擇。 例如，標準 Pascal 和 ALGOL 68 給出正余數（或 0），即使對于負除數也是如此，而一些編程語言，例如 C90，在 n 或 a 中的任何一個為負時將其留給實現（參見§下的表格） 在編程語言中獲取詳細信息）。 在大多數系統中，模 0 是未定義的，盡管有些系統確實將其定義為 a。

• 許多實現使用截斷除法，其商定義為整數部分函數（向零舍入），即截斷為零 有效數字。因此根據等式（1），余數與被除數具有相同的符號
• Donald Knuth 提倡底除法， 其中 ?? 是 floor 函數（向下舍入）。因此根據 等式（1），余數與除數同號
• Common Lisp 和 IEEE 754 使用舍入除法
• Common Lisp 也使用上限除法，其商定義為?其中 ?? 是上限函數（四舍五入）。