超二次曲面體

在數學中，超二次曲面或超二次曲面（也稱為超二次曲面）是一組由類似于橢圓體和其他二次曲面的公式定義的幾何形狀，只是平方運算被任意冪代替。 它們可以看作是超橢圓的三維親戚。 根據上下文，該術語可能指固體物體或其表面。 下面的方程式指定了表面； 通過用小于或等于符號替換等號來指定實體。

超二次曲面包括許多類似立方體、八面體、圓柱體、菱形和紡錘體的形狀，帶有圓角或尖角。 由于它們的靈活性和相對簡單性，它們是流行的幾何建模工具，尤其是在計算機圖形學中。

一些作者，例如 Alan Barr，將超二次曲面定義為包括超橢圓體和超環面。 然而，（適當的）超環面不是上面定義的超二次曲面； 并且，雖然一些超二次曲面是超橢圓體，但兩個家族都不包含在另一個家族中。專著涵蓋了超二次曲面的幾何特性及其從距離圖像中恢復的方法的全面覆蓋。

其中 r、s 和 t 是確定超二次曲面主要特征的正實數。 即：

• 小于 1：修改為具有凹面和銳邊的尖八面體。
• 正好是 1：一個正八面體。
• 介于 1 和 2 之間：修改為具有凸面、鈍邊和鈍角的八面體。
• 恰好 2：一個球體
• 大于 2：修改為具有圓形邊角的立方體。
• 無限（在極限內）：一個立方體

每個指數可以獨立變化以獲得組合形狀。 例如，如果r=s=2，t=4，則得到一個旋轉體，它類似于具有圓形橫截面但兩端扁平的橢圓體。 當（且僅當）r = s 時，此公式是超橢球公式的特例。

如果允許任何指數為負，則形狀會延伸到無窮大。 這種形狀有時被稱為超雙曲面。

上面的基本形狀沿每個坐標軸從 -1 跨越到 +1。 一般超二次曲面是將此基本形狀沿每個軸按不同量 A、B、C 縮放的結果。

表面參數 u 和 v（如果 m 等于 2，則相當于經度和緯度）的參數方程