集合論是研究集合的數學邏輯的一個分支，集合可以非正式地描述為對象的集合。 雖然任何種類的對象都可以被收集到一個集合中，但集合論作為數學的一個分支，主要關注那些與整個數學相關的對象。

集合論的現代研究是由德國數學家理查德·戴德金和喬治·康托于 1870 年代發起的。 特別是，Georg Cantor 通常被認為是集合論的創始人。 在這個早期階段研究的非形式化系統被稱為樸素集理論。 在發現樸素集合論中的悖論（如羅素悖論、康托爾悖論和 Burali-Forti 悖論）后，20 世紀初提出了各種公理系統，其中 Zermelo-Fraenkel 集合論（與 或沒有選擇公理）仍然是最著名和研究最多的。

集合論通常被用作整個數學的基礎系統，特別是以帶有選擇公理的 Zermelo-Fraenkel 集合論的形式出現。 除了其基礎作用外，集合論還提供了發展無限數學理論的框架，并在計算機科學（例如關系代數理論）、哲學和形式語義學中有各種應用。 它的基本吸引力，連同它的悖論，它對無窮大概念的影響及其多重應用，使集合論成為邏輯學家和數學哲學家的主要興趣領域。 當代對集合論的研究涵蓋了廣泛的主題，從實數軸的結構到大基數一致性的研究。

數學主題通常通過許多研究人員之間的互動而出現和發展。 然而，集合論是由 Georg Cantor 于 1874 年發表的一篇論文創立的：論所有實數代數數集合的性質。

自公元前 5 世紀以來，從西方的希臘數學家埃利亞的芝諾和東方的早期印度數學家開始，數學家們一直在與無窮大的概念作斗爭。 尤其值得注意的是伯納德·博爾扎諾 (Bernard Bolzano) 在 19 世紀上半葉的作品。 現代對無窮大的理解始于 1870 年至 1874 年，受到康托爾在實分析方面的工作的啟發。 1872 年康托爾和理查德戴德金德之間的一次會面影響了康托爾的思想，并在康托爾 1874 年的論文中達到了頂峰。

康托爾的工作最初使他那個時代的數學家兩極分化。 雖然 Karl Weierstrass 和 Dedekind 支持 Cantor，但現在被視為數學建構主義創始人的 Leopold Kronecker 卻不支持。 由于康托爾概念的實用性，例如集合之間的一對一對應，他證明實數比整數多，以及無限中的無窮大（康托爾的天堂），康托爾集合論最終得到廣泛傳播 從電源組操作。 集合論的這種實用性導致了文章 Mengenlehre，該文章于 1898 年由 Arthur Schoenflies 貢獻給克萊因的百科全書。

集合論的下一波熱潮出現在 1900 年左右，當時人們發現康托爾集合論的某些解釋引起了幾個矛盾，稱為二律背反或悖論。 Bertrand Russell 和 Ernst Zermelo 獨立發現了最簡單和最著名的悖論，現在稱為羅素悖論：考慮所有不是自身成員的集合，這導致矛盾，因為它必須是自身的成員而不是自身的成員 自己的一員。 1899年，康托爾自己提出了“所有集合的集合的基數是多少？”的問題，并得到了相關的悖論。 羅素在他 1903 年的《數學原理》中對大陸數學的評論中使用了他的悖論作為主題。 羅素沒有使用術語集，而是使用了術語類，該術語后來在技術上得到了更多的使用。

集合論的勢頭如此之大，以至于關于悖論的辯論并沒有導致它被放棄。 Zermelo 在 1908 年的工作以及 Abraham Fraenkel 和 Thoralf Skolem 在 1922 年的工作導致了公理集 ZFC，它成為集合論中最常用的公理集。 分析家的工作，例如亨利·勒貝格的工作，證明了集合論的巨大數學效用，此后它已融入現代數學的結構中。 集合論通常用作基礎系統，盡管在某些領域（例如代數幾何和代數拓撲）范疇理論被認為是首選基礎。

集合論以對象 o 和集合 A 之間的基本二元關系開始。