最佳控制理論是數學優化的一個分支，它處理在一段時間內尋找動態系統的控制，從而優化目標函數。 它在科學、工程和運籌學中有許多應用。 例如，動力系統可能是一個航天器，其控制裝置與火箭推進器相對應，目標可能是以最少的燃料消耗到達月球。 或者動力系統可以是一個國家的經濟，其目標是將失業率降至最低； 在這種情況下，控制措施可以是財政和貨幣政策。 還可以引入動力系統以將運籌學問題嵌入最優控制理論的框架內。

最優化控制是變分法的擴展，是一種推導控制策略的數學優化方法。 在 Edward J. McShane 對變分法做出貢獻之后，該方法主要歸功于 Lev Pontryagin 和 Richard Bellman 在 1950 年代的工作。 最佳控制可以看作是控制理論中的一種控制策略。

最佳控制處理為給定系統找到控制律的問題，以便實現特定的最優性標準。 控制問題包括成本函數，它是狀態和控制變量的函數。 最優控制是一組微分方程，描述了使成本函數最小化的控制變量的路徑。 可以使用 Pontryagin 的xxx原理（必要條件也稱為 Pontryagin 的最小原理或簡稱為 Pontryagin 的原理）或通過求解 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程（充分條件）推導出最優控制 .

我們從一個簡單的例子開始。 考慮一輛在山路上直線行駛的汽車。 問題是，駕駛員應該如何踩油門踏板才能使總行駛時間最小化？ 在此示例中，術語控制規律特指駕駛員踩下加速器和換檔的方式。 該系統由汽車和道路組成，最優性準則是總行駛時間的最小化。 控制問題通常包括輔助約束。 例如，可用燃料量可能受到限制，加速踏板不能穿過汽車地板，速度限制等。

適當的成本函數將是一個數學表達式，將行進時間作為速度、幾何考慮因素和系統初始條件的函數。 約束通常可以與成本函數互換。

另一個相關的最優控制問題可能是找到駕駛汽車的方式以最小化其燃料消耗，假設它必須在不超過一定數量的時間內完成給定的課程。 另一個相關的控制問題可能是在給定時間和燃料的假定貨幣價格的情況下，最小化完成行程的總貨幣成本。

E {\displaystyle E} 和 F {\displaystyle F} 分別稱為端點成本和運行成本。 在變分法中，E {\displaystyle E} 和 F {\displaystyle F} 分別被稱為邁耶項和拉格朗日項。 此外，注意到路徑約束是一般不等式約束，因此在最優解處可能不活躍（即等于零）。 還要注意的是，上述最優控制問題可能有多個解（即解可能不是xxx的）。