等 (UK: /??d?m?po?t?ns/, US: /?a?d?m-/) 是數學和計算機科學中某些運算的屬性，它們可以多次應用，而不改變初始應用后的結果。 冪等性的概念出現在抽象代數（特別是投影儀和閉包運算符的理論）和函數式編程（其中它與引用透明性相關聯）的許多地方。

該術語由美國數學家本杰明皮爾士于 1870 年在代數元素的上下文中引入，這些元素在提升到正整數冪時保持不變，字面意思是（具有的質量）相同的權力，來自 idem + potential（相同 + 權力 ).

集合 S {displaystyle S} 的元素 x {displaystyle x} 配備二元運算符 ? {displaystyle cdot } 在 ? {displaystyle cdot } 下被認為是冪等的如果

x ? x = x {displaystyle xcdot x=x} 。

二元運算 ? {displaystyle cdot } 被認為是冪等的，如果

x ? x = x {displaystyle xcdot x=x} 對于所有 x ∈ S {displaystyle xin S} 。

• 在具有乘法的自然數的幺半群 ( N , × ) {displaystyle (mathbb {N} ,times )} 中，只有 0 和 1 是冪等的。 實際上，0 × 0 = 0 {displaystyle 0times 0=0} 和 1 × 1 = 1 {displaystyle 1times 1=1}。
• 在加法自然數的幺半群 ( N , {displaystyle (mathbb {N} ,} +) 中，只有 0 是冪等的。事實上，0 + 0 = 0。
• 在巖漿 ( M , ? ) {displaystyle (M,cdot )} 中，單位元素 e {displaystyle e} 或吸收元素 a {displaystyle a} ，如果它存在， 是冪等的。 事實上，e ? e = e {displaystyle ecdot e=e} 和 a ? a = a {displaystyle acdot a=a}。
• 在群 ( G , ? ) {displaystyle (G,cdot )} 中，恒等元素 e {displaystyle e} 是xxx的冪等元素。 事實上，如果 x {displaystyle x} 是 G {displaystyle G} 的一個元素使得 x ? x = x {displaystyle xcdot x=x} ，那么 x ? x = x ? e { displaystyle xcdot x=xcdot e} 最后 x = e {displaystyle x=e} 通過在左邊乘以 x {displaystyle x} 的逆元素。
• 在幺半群 ( P ( E ) , ∪ ) {displaystyle ({mathcal {P}}(E),cup )} 和 ( P ( E ) , ∩ ) {displaystyle ( {mathcal {P}}(E),cap )} 冪集 P ( E ) {displaystyle {mathcal {P}}(E)} 集合 E {displaystyle E } 與集合并集 ∪ {displaystyle cup } 和集合交集 ∩ {displaystyle cap } 分別，∪ {displaystyle cup } 和 ∩ {displaystyle cap } 是冪等的。 事實上，x ∪ x = x {displaystyle xcup x=x} 對于所有 x ∈ P ( E ) {displaystyle xin {mathcal {P}}(E)} 和 x ∩ x = x {displaystyle xcap x=x} 對于所有 x ∈ P ( E ) {displaystyle xin {mathcal {P}}(E)} 。
• 在幺半群 ( { 0 , 1 } , ∨ ) {displaystyle ({0,1},vee )} 和 ( { 0 , 1 } , ∧ ) {displaystyle ( 布爾域的 {0,1},wedge )} 分別具有邏輯析取 ∨ {displaystyle vee } 和邏輯合取 ∧ {displaystyle wedge }， ∨ {displaystyle vee } 和 ∧ {displaystyle wedge } 是冪等的。 實際上，x ∨ x = x {displaystyle xvee x=x} 對于所有 x ∈ { 0 , 1 } {displaystyle xin {0,1}} 和 x ∧ x = x {displaystyle xwedge x=x} 對于所有 x ∈ { 0 , 1 } {displaystyle xin {0,1}} 。
• 在布爾環中，乘法是冪等的。
• 在熱帶半環中，加法是冪等的。
• 在二次矩陣環中，冪等矩陣的行列式為 0 或 1。如果行列式為 1，則矩陣必然為單位矩陣。

在幺半群 ( E E , ° ) {displaystyle (E{E},circ )} 中函數從集合 E {displaystyle E} 到自身（見集合取冪）與函數組合 ° { displaystyle circ } ，冪等元素是函數 f : E → E {displaystyle fcolon Eto E} 使得 f ° f = f {displaystyle fcirc f=f} ， 即 f ( f ( x ) ) = f ( x ) {displaystyle f(f(x))=f(x)} 對于所有 x ∈ E {displaystyle xin E} 換句話說，每個元素 x ∈ E {displaystyle xin E} 的圖像 f ( x ) {displaystyle f(x)} 是 f {displaystyle f} ) 的不動點。 例如：

• xxx值是冪等的。 實際上，abs ° abs = abs {displaystyle operatorname {abs} circ operatorname {abs} =operatorname {abs} } ，即 abs ? ( abs ? ( x ) ) = abs ? ( x ) {displaystyle operatorname {abs} (operatorname {abs} (x))=operatorname {abs} (x)} 對于所有 x {displaystyle x} ;
• 常量函數是冪等的；
• 身份函數是冪等的；
• 下限、上限和小數部分函數是冪等的；
• 群的冪集對自身的子群生成函數是冪等的；