在數學中，可計算的數字是可以通過有限的終止算法計算到任何所需精度的實數。 它們也被稱為遞歸數、有效數或可計算實數或遞歸實數。

可以使用 μ 遞歸函數、圖靈機或 λ 演算作為算法的形式表示來給出等效定義。 可計算的數字形成一個真實的封閉域，可以代替實數用于許多但不是所有的數學目的。

在下文中，Marvin Minsky 以類似于 Alan Turing 在 1936 年定義的方式定義了要計算的數字； 即，作為解釋為 0 和 1 之間的小數的數字序列：

一個可計算的數字 [是] 一個有圖靈機的數字，它在其初始磁帶上給定 n，以該數字的第 n 個數字終止 [編碼在其磁帶上]。

定義中的關鍵概念是 (1) 在開始時指定了一些 n，(2) 對于任何 n，計算只需要有限的步驟，之后機器產生所需的輸出并終止。

(2) 的另一種形式——機器連續打印其紙帶上的所有 n 個數字，在打印第 n 個數字后停止——強調明斯基的觀察：(3) 通過使用圖靈機，有限定義——在 機器狀態表的形式——被用來定義什么是潛在無限的十進制數字串。

然而，這不是現代定義，現代定義只要求結果準確到任何給定的精度范圍內。 上面的非正式定義受到稱為制表者困境的舍入問題的影響，而現代定義則不然。

一個實數 a 是可計算的，如果它可以通過一些可計算函數 f : N → Z {\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} } 以下列方式近似：給定任何正數 整數 n，該函數產生一個整數 f(n)，使得：

f ( n ) ? 1 n ≤ a ≤ f ( n ) + 1 n 。 {\displaystyle {f(n)-1 \over n}\leq a\leq {f(n)+1 \over n}。}

有兩個相似的定義是等價的：

• 存在一個可計算函數，給定任何正有理誤差邊界 ε {\displaystyle \varepsilon } ，它產生一個有理數 r 使得 | r - 一個 | ≤ ε 。 {\displaystyle |r-a|\leq \varepsilon .}
• 有一個可計算的有理數序列 q i {\displaystyle q_{i}} 收斂到 {\displaystyle a} 這樣 | q i ? q i + 1 | < 2 ? i {\displaystyle |q_{i}-q_{i+1}|<2{-i}\,} 對于每個 i。

通過可計算的 Dedekind 切割，還有另一個等效的可計算數字定義。

程序 D 給出了一個例子，它定義了 3 的立方根。

一個實數是可計算的當且僅當存在一個可計算的 Dedekind 割 D 與之對應。 函數 D 對于每個可計算的數字都是xxx的（當然兩個不同的程序可能提供相同的函數）。

如果一個復數的實部和虛部是可計算的，則該復數被稱為可計算的。

為每個圖靈機定義分配一個哥德爾數會產生對應于可計算數的自然數子集 S {\displaystyle S} 并識別從 S {\displaystyle S} 到可計算數的滿射。 圖靈機只有可數個，說明可計算數是可數的。 然而，這些哥德爾數的集合 S {\displaystyle S} 不可計算枚舉（因此，根據它定義的 S {\displaystyle S} 的子集也不是）。 這是因為沒有算法可以確定哪些哥德爾數對應于產生可計算實數的圖靈機。