測量平差
編輯測量平差是基于觀測殘差的最小二乘原理求解超定方程組的模型。 它廣泛用于測量、大地測量學和攝影測量學(統稱為地理信息學領域)。
配方
編輯最小二乘調整有三種形式:參數、條件和組合:
- 在參數調整中,可以找到一個觀察方程 h(X)=Y,它根據參數 X 明確關聯觀察 Y(導致下面的 A 模型)。
- 在條件調整中,存在一個條件方程,即 g(Y)=0,僅涉及觀測 Y(導致下面的 B 模型)——根本沒有參數 X。
- 最后,在組合調整中,參數 X 和觀測值 Y 都隱含在混合模型方程 f(X,Y)=0 中。
參數和條件調整分別對應于更一般的組合情況。 然而,特殊情況需要更簡單的解決方案,如下所述。 通常在文獻中,Y 可能表示為 L。
解決方案
編輯上面的等式只適用于估計參數 X ^ 和觀察 Y ^ ,因此 f ( X ^ , Y ^ ) = 0
可以對方程進行泰勒級數展開,得到雅可比矩陣或設計矩陣:xxx個,
A = ? f / ? X ;
第二個,
B = ? f / ? Y 。
線性化模型然后讀取:
w ~ + A x ^ + B y ^ = 0 ,
在參數化調整中,第二個設計矩陣是一個恒等式,B=-I,misclosure向量可以解釋為預擬合殘差,y ~ = w ~ = h ( X ~ ) ? Y ~
這是普通最小二乘的形式。 在條件調整中,xxx個設計矩陣為空,A=0。對于更一般的情況,引入拉格朗日乘子來關聯兩個雅可比矩陣并將約束最小二乘問題轉化為無約束(盡管更大)。 在任何情況下,它們的操作都會導致 X ^和 Y ^ 向量以及各自的參數和觀察值 a 后驗協方差矩陣。
計算
給定上面的矩陣和向量,它們的解是通過標準最小二乘法找到的。
擴展
編輯如果遇到秩不足,通常可以通過包含對參數和/或觀測值施加約束的附加方程來糾正,從而導致受約束的最小二乘法。
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