玻恩-朗德方程是一種計算結晶離子化合物晶格能的方法。 1918 年 Max Born 和 Alfred Landé 提出晶格能可以從離子晶格的靜電勢和排斥勢能項中推導出來。

E = ? N A M z + z ? e 2 4 π ε 0 r 0 ( 1 ? 1 n ) {\displaystyle E=-{\frac {N_{A}Mz{+}z{-}e{2} }{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}

在哪里：

• NA = 阿伏加德羅常數；
• M = 馬德隆常數，與晶體的幾何形狀有關；
• z+ = 陽離子電荷數
• z? = 陰離子電荷數
• e = 基本電荷，1.6022×10?19 C
• ε0 = 自由空間的介電常數4πε0 = 1.112×10?10 C2/(J·m)
• r0 = 最近的陽離子 [ +ve ] & 之間的距離 陰離子 [ -ve ].
• n = 玻恩指數，通常是 5 到 12 之間的一個數，通過測量固體的壓縮性通過實驗確定，或從理論上得出。
• E = 晶格能量用 'E' 表示。

離子晶格被建模為硬彈性球體的集合，這些球體通過離子上靜電荷的相互吸引而被壓縮在一起。 由于平衡的短程排斥，它們達到了觀察到的平衡距離。

一對帶相同和相反電荷的離子之間的靜電勢能 Epair 為：

E pair = ? z 2 e 2 4 π ? 0 r {\displaystyle E_{\text{pair}}=-{\frac {z{2}e{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}

在哪里

z = 一個離子的電荷量 = 基本電荷，1.6022×10?19 C

ε0 = 自由空間的介電常數

4πε0 = 1.112×10?10 C2/(J·m)r = 離子中心的距離

對于以 1:1 的比例包含帶相同和相反電荷的離子的簡單晶格，需要將一個離子與所有其他晶格離子之間的相互作用相加以計算 EM，有時稱為馬德隆或晶格能量：

E M = ? z 2 e 2 M 4 π ? 0 r {\displaystyle E_{\text{M}}=-{\frac {z{2}e{2}M}{4\pi \ epsilon _{0}r}}}

在哪里

M = 馬德隆常數，與晶體的幾何形狀有關 = 兩個帶相反電荷的離子之間的最近距離

Born 和 Lande 建議晶格離子之間的排斥相互作用與 1/rn 成正比，因此排斥能量項 ER 將表示為：

E R = B r n {\displaystyle E_{\text{R}}={\frac {B}{r{n}}}}

在哪里

B = 恒定縮放排斥相互作用的強度 = 兩個帶相反電荷的離子之間的最近距離 = 出生指數，5 到 12 之間的數字，表示排斥屏障的陡度

因此，晶格中離子的總強度勢能可以表示為馬德隆勢能和排斥勢能的總和：

E ( r ) = ? z 2 e 2 M 4 π ? 0 r + B r n {\displaystyle E(r)=-{\frac {z{2}e{2}M}{4\pi epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r{n}}}}

相對于 r 最小化此能量會根據未知常數 B 產生平衡分離 r0：

d E d r = z 2 e 2 M 4 π ? 0 r 2 ? n B r n + 1 0 = z 2 e 2 M 4 π ? 0 r 0 2 ? n B r 0 n + 1 r 0 = ( 4 π ? 0 n B z 2 e 2 M ) 1 n ? 1 B = z 2 e 2 M 4 π ? 0 n r 0 n ? 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d } E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z{2}e{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r{2}}}- {\frac {nB}{r{n+1}}}\\0&={\frac {z{2}e{2}M}{4\pi \epsilon _{0} r_{0}{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4 \pi \epsilon _{0}nB}{z{2}e{2}M}}\right){\frac {1}{n-1}}\\B&={ frac {z{2}e{2}M}{4\pi \epsilon _{0}n}}r_{0}{n-1}\end{對齊}}}

評估最小強度勢能，并用 r0 代入 B 的表達式，得到玻恩-朗德方程序：

E ( r 0 ) = ? M z 2 e 2 4 π ? 0 r 0 ( 1 ? 1 n ) {\displaystyle E(r_{0})=-{\frac {Mz{2}e{2} }{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}

玻恩-朗德方程給出了系統晶格能量的概念。

Born 指數通常介于 5 和 12 之間。