有限元法 (FEM) 是一種流行的數值求解工程和數學建模中出現的微分方程的方法。 感興趣的典型問題領域包括結構分析、傳熱、流體流動、質量傳遞和電磁勢等傳統領域。

有限元法是求解兩個或三個空間變量的偏微分方程（即某些邊值問題）的通用數值方法。 為了解決問題，FEM 將大型系統細分為更小、更簡單的部分，這些部分稱為有限元。 這是通過空間維度中的特定空間離散化實現的，這是通過構建對象的網格來實現的：解的數值域，它具有有限數量的點。 邊界值問題的有限元方法公式化最終導致代數方程組。 該方法在域上逼近未知函數。然后將對這些有限元建模的簡單方程組組合成一個更大的方程組，對整個問題進行建模。 然后，FEM 通過變分法最小化相關的誤差函數來近似解。

使用 FEM 研究或分析現象通常稱為有限元分析 (FEA)。

將整個域細分為更簡單的部分有幾個優點：

• 復雜幾何的準確表示
• 包含不同的材料特性
• 整體解決方案的簡單表示
• 捕捉局部效果。

該方法的典型工作包括：

將問題的域劃分為子域的集合，每個子域由原始問題的一組元素方程表示

• 系統地將所有元素方程組重新組合成一個全局方程組以進行最終計算。

全局方程組具有已知的求解技術，并且可以從原始問題的初始值計算以獲得數值答案。

在上面的xxx步中，元素方程是局部逼近待研究的原始復雜方程的簡單方程，其中原始方程通常是偏微分方程（PDE）。 為了解釋這個過程中的逼近，通常將有限元法作為伽遼金法的特例引入。 用數學語言來說，這個過程就是構造殘差和權重函數的內積的積分，并將積分設置為零。 簡單來說，它是一種通過將試驗函數擬合到 PDE 中來最小化近似誤差的過程。 殘差是由試驗函數引起的誤差，權重函數是投影殘差的多項式逼近函數。