作用量-角度坐標

在經典力學中，作用角坐標是一組可用于求解許多可積系統的規范坐標。 作用角法可用于在不求解運動方程的情況下獲得振蕩或旋轉運動的頻率。 作用量-角度坐標主要用于Hamilton-Jacobi方程完全可分的情況。 （因此，哈密頓量不明確依賴于時間，即能量守恒。）作用角變量定義了一個不變環面，之所以這樣稱呼是因為保持作用常數定義了環面的表面，而角度變量參數化了坐標 在圓環上。

在波力學出現之前用于發展量子力學的玻爾-索末菲量子化條件指出作用必須是普朗克常數的整數倍； 類似地，愛因斯坦對 EBK 量化和量化不可積系統的困難的見解是根據作用角坐標的不變環面來表達的。

作用量-角度坐標在哈密頓力學的微擾理論中也很有用，尤其是在確定絕熱不變量時。 對于具有少量自由度的動力系統的非線性擾動，混沌理論的最早成果之一是 KAM 定理，該定理指出不變環面在小擾動下是穩定的。

作用角變量的使用是 Toda 晶格解的核心，也是 Lax 對定義的核心，或者更一般地說，是系統等譜演化思想的核心。

作用角來自類型 2 規范變換，其中生成函數是漢密爾頓的特征函數 W ( q ) {dISPlaystyle W(mathbf {q} )}（不是漢密爾頓的主函數 S { diSPlaystyle S}）。 由于原始的哈密頓量不明確依賴于時間，因此新的哈密頓量 K ( w , J ) {displaystyle K(mathbf {w} ,mathbf {J} )} 僅僅是舊的哈密頓量 H ( q , p ) {displaystyle H(mathbf {q} ,mathbf {p} )} 用新的規范坐標表示，我們將其表示為 w {displaystyle mathbf {w} } （ 作用角，即廣義坐標）及其新的廣義動量 J {displaystyle mathbf {J} } 。 我們不需要在這里求解生成函數 W {displaystyle W} 本身； 相反，我們將僅將其用作關聯新舊規范坐標的工具。

我們不是直接定義作用角 w {displaystyle mathbf {w} } ，而是定義它們的廣義動量，它類似于每個原始廣義坐標的經典作用

J k ≡ ∮ p k d q k {displaystyle J_{k}equiv oint p_{k},mathrm {d} q_{k}}

其中積分路徑由恒定能量函數 E = E ( q k , p k ) {displaystyle E=E(q_{k},p_{k})} 隱式給出。 由于實際運動不參與此積分，這些廣義動量 J k {displaystyle J_{k}} 是運動常數，這意味著變換后的哈密頓量 K {displaystyle K} 不依賴于共軛廣義 坐標 w k {displaystyle w_{k}}

d d t J k = 0 = ? K ? w k {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}J_{k}=0={frac { 部分 K}{部分 w_{k}}}}

其中 w k {displaystyle w_{k}} 由類型 2 規范變換的典型方程給出

w k ≡ ? W ? J k {displaystyle w_{k}equiv {frac {partial W}{partial J_{k}}}}

因此，新的哈密頓量 K = K ( J ) {displaystyle K=K(mathbf {J} )} 僅取決于新的廣義動量 J {displaystyle mathbf {J} } 。

作用角的動力學由哈密頓方程給出

d d t w k = ? K ? J k ≡ ν k ( J ) {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}w_{k}={frac { partial K}{partial J_{k}}}equiv nu _{k}(mathbf {J} )}

右側是運動常數（因為所有 J {displaystyle J} 都是）。 因此，解決方案由下式給出

w k = ν k ( J ) t + β k {displaystyle w_{k}=nu _{k}(mathbf {J} )t+beta _{k}}

其中 β k {displaystyle beta _{k}} 是積分常數。 特別地，如果原始廣義坐標經歷周期 T {displaystyle T} 的振蕩或旋轉，則相應的作用角 w k {displaystyle w_{k}} 變化 Δ w k = ν k ( J ) T { displaystyle Delta w_{k}=nu _{k}(mathbf {J} )T} 。