在數學、物理和工程中，方向或簡稱為矢量（有時稱為幾何矢量或空間矢量）是具有大小（或長度）和方向的幾何對象。 根據向量代數，向量可以添加到其他向量。 向量通常由有向線段表示，或者在圖形上表示為連接起點 A 和終點 B 的箭頭，并表示為 A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} 。

向量是將 A 點帶到 B 點所需要的； 拉丁詞向量表示載體。 它首先被 18 世紀的天文學家用來研究圍繞太陽的行星公轉。 向量的大小是兩點之間的距離，方向是指從 A 到 B 的位移方向。許多對實數的代數運算，如加法、減法、乘法和取反，都與向量有密切的類比，運算 它遵循熟悉的交換律、結合律和分配律的代數定律。 這些操作和相關的法律使向量成為更一般化的矢量概念的一個例子，矢量概念簡單地定義為矢量空間的元素。

矢量在物理學中起著重要的作用：運動物體的速度和加速度以及作用在其上的力都可以用矢量來描述。 許多其他物理量可以被有效地視為向量。 盡管它們中的大多數不表示距離（例如位置或位移除外），但它們的大小和方向仍然可以用箭頭的長度和方向來表示。 物理向量的數學表示取決于用于描述它的坐標系。 其他描述物理量并在坐標系變化下以類似方式進行變換的類矢量對象包括偽矢量和張量。

我們今天所知道的矢量概念是 200 多年逐步發展的結果。 大約有十幾個人為它的發展做出了重大貢獻。 1835年，Giusto Bellavitis在建立等位概念時將基本思想抽象出來。 在歐幾里德平面上工作，他使任何一對具有相同長度和方向的平行線段成為等位線。 本質上，他實現了平面上點對（bipoints）的等價關系，從而建立了平面上xxx個向量空間。 向量一詞由 William Rowan Hamilton 作為四元數的一部分引入，四元數是實數 s（也稱為標量）和 3 維向量的總和 q = s + v。 與 Bellavitis 一樣，Hamilton 將向量視為等同有向線段類的代表。 由于復數使用虛部來補充實線，Hamilton 認為向量 v 是四元數的虛部：

由直線或半徑向量幾何構成的代數虛部，通常對于每個確定的四元數，具有確定的空間長度和確定的方向，可以稱為向量部分，或簡稱為向量的向量 四元數。

其他幾位數學家在 19 世紀中葉開發了類似向量的系統，包括奧古斯丁柯西、赫爾曼格拉斯曼、奧古斯特莫比烏斯、圣維南伯爵和馬修奧布萊恩。 Grassmann 1840 年的著作 Theorie der Ebbe und Flut（潮漲潮落理論）是xxx個類似于今天系統的空間分析系統，其思想對應于叉積、標量積和向量微分 . 直到 1870 年代，格拉斯曼的工作基本上都被忽視了。 彼得·格思里·泰特 (Peter Guthrie Tait) 在漢密爾頓之后采用了四元數標準。 他 1867 年的四元數初等論文包括對 nabla 或 del 運算符 ? 的廣泛處理。 1878 年，William Kingdon Clifford 出版了 Elements of Dynamic。 克利福德通過從完整的四元數乘積中分離出兩個向量的點積和叉積來簡化四元數研究。 這種方法使工程師和其他從事三維工作并對第四維持懷疑態度的人可以進行矢量計算。

Josiah Willard Gibbs 通過 James Clerk Maxwell 的 Treatise on Electricity and Magnetism 接觸到四元數，將它們的矢量部分分離出來進行獨立處理。 吉布斯于 1881 年出版的《矢量分析原理》的前半部分介紹了現代矢量分析系統的本質。 1901 年，Edwin Bidwell Wilson 發表了改編自 Gibb 講座的《矢量分析》，在矢量微積分的發展過程中不再提及四元數。

在物理學和工程學中，矢量通常被視為以大小和方向為特征的幾何實體。 它被正式定義為歐幾里德空間中的有向線段或箭頭。 在純數學中，向量更一般地定義為任何元素。