• 因果系統

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    因果系統

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    在控制理論中,因果系統(也稱為物理或非預期系統)是一個輸出取決于過去和當前輸入而不是未來輸入的系統——即輸出 y ( t 0 ) {\displaystyle y(t_{ 0})} 僅取決于輸入 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 對于 t ≤ t 0 {\displaystyle t\leq t_{0}} 的值。

    一個函數的輸出在任何時候都只取決于輸入的過去和現在的值的想法是由通常稱為因果關系的屬性定義的。 對未來輸入值具有一定依賴性的系統(除了可能依賴于過去或當前輸入值之外)被稱為非因果或非因果系統,而僅依賴于未來輸入值的系統稱為反因果系統。 請注意,一些作者將反因果系統定義為僅依賴于未來和當前輸入值的系統,或者更簡單地說,是一個不依賴于過去輸入值的系統。

    傳統上,自然或物理現實被認為是一個因果系統。 涉及狹義相對論或廣義相對論的物理學需要更仔細地定義因果關系,如因果關系(物理學)中詳細描述的那樣。

    系統的因果關系在數字信號處理中也起著重要作用,其中濾波器的構造使其具有因果關系,有時通過改變非因果關系的公式來消除因果關系的缺失,使其可實現。 有關詳細信息,請參閱因果過濾器

    對于因果系統,系統的脈沖響應必須僅使用輸入的當前值和過去值來確定輸出。 此要求是系統具有因果關系的充分必要條件,與線性無關。 請注意,類似的規則適用于離散或連續的情況。 根據這種不需要未來輸入值的定義,系統必須是實時處理信號的因果關系。

    數學定義

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    定義 1:系統將 x {\displaystyle x} 映射到 y {\displaystyle y} 是因果關系當且僅當對于任何一對輸入信號 x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t) } , x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)} 和 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的任意選擇

    定義 2:假設 h ( t ) {\displaystyle h(t)} 是由線性常系數微分方程描述的任何系統 H {\displaystyle H} 的脈沖響應。 系統 H {\displaystyle H} 是因果關系當且僅當

    h ( t ) = 0 , ? t <; 0 {\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}

    否則它是非因果的。

    例子

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    以下示例適用于具有輸入 x {\displaystyle x} 和輸出 y {\displaystyle y} 的系統。

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    1. 因果系統
    2. 數學定義
    3. 例子

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