費根鮑姆常數

在數學中，特別是分岔理論中，費根鮑姆常數是兩個數學常數，它們都表示非線性映射分岔圖中的比率。

Feigenbaum 最初將第一個常數與 logistic 映射中的倍周期分岔聯系起來，但也表明它適用于所有具有單個二次最大值的一維映射。 由于這種普遍性，與這種描述相對應的每個混沌系統都將以相同的速率分叉。

第一個 Feigenbaum 常數 δ 是單參數映射的每個周期加倍之間每個分叉間隔與下一個分叉間隔的限制比

其中 f(x) 是由分岔參數 a 參數化的函數。

• 30 位小數：δ = 4.669201609102990671853203820466 ...
• （OEIS 中的序列 A006890）
• 一個簡單的有理近似值是：621/133，它對 5 個有效值（四舍五入時）是正確的。 要獲得更高的精度，請使用 1228/263，它對 7 個有效值是正確的。
• 約等于10(1/π ? 1)，誤差為0.0015%

要了解這個數字是如何產生的，請考慮真實的單參數映射

這里a是分岔參數，x是變量。 周期加倍的 a 的值（例如沒有周期 2 軌道的 a 的最大值，或沒有周期 4 軌道的最大 a）是 a1、A2 等。這些列于下表：

最后一列中的比率收斂于第一個 Feigenbaum 常數。 邏輯地圖出現相同的數字

具有實參 a 和變量 x。 再次列出分叉值：

分岔參數是周期為 2n 分量的根點。 該級數收斂于費根鮑姆點 c = ?1.401155…… 最后一列中的比率收斂于第一個費根鮑姆常數。

其他地圖也復制了這個比率，在這個意義上，分岔理論中的 Feigenbaum 常數類似于幾何學中的 π 和微積分中的 e。

第二個 Feigenbaum 常數或 Feigenbaum 的 alpha 常數（OEIS 中的序列 A006891），

是齒的寬度與其兩個子齒之一的寬度之間的比率（除了最靠近折疊的齒）。 當測量下部尖齒與尖齒寬度之間的比率時，將負號應用于 α。

這兩個數字都被認為是超越的，盡管它們還沒有被證明是這樣。 也沒有已知的證據表明這兩個常數都是無理數。