在數學中，迭代函數是函數 X → X（即從某個集合 X 到自身的函數），它是通過將另一個函數 f : X → X 與自身組合一定次數而獲得的。 重復應用相同函數的過程稱為迭代。 在此過程中，從某個初始對象開始，應用給定函數的結果再次作為輸入饋入函數，并重復此過程。

代函數是計算機科學、分形、動力系統、數學和重整化群物理學的研究對象。

集合 X 上迭代函數的正式定義如下。

設 X 是一個集合，f: X → X 是一個函數。

將 f n 定義為 f 的第 n 次迭代（由 Hans Heinrich Bürmann 和 John Frederick William Herschel 引入的符號），其中 n 是一個非負整數，通過： f 0 = d e f id X {displaystyle f{0} ~{stackrel {mathrm {def} }{=}}~operatorname {id} _{X}} 和 f n + 1 = d e f f ° f n , {displaystyle f{n+1}~ {stackrel {mathrm {def} }{=}}~fcirc f{n},}

其中 idX 是 X 上的恒等函數，f○g 表示函數組合。 那是，

(f○g)(x) = f (g(x)),

總是聯想的。

因為符號 f n 可能指代函數 f 的迭代（復合）或函數 f 的求冪（后者常用于三角學），一些數學家選擇使用 ° 來表示復合意義，寫作 f°n(x ) 對于函數 f(x) 的第 n 次迭代，例如，f°3(x) 表示 f(f(f(x)))。 出于同樣的目的，Benjamin Peirce 使用 f [n](x)，而 Alfred Pringsheim 和 Jules Molk 建議改用 nf(x)。

通常，以下恒等式適用于所有非負整數 m 和 n，

f m ° f n = f n ° f m = f m + n 。 {displaystyle f{m}circ f{n}=f{n}circ f{m}=f{m+n}~.}

這在結構上等同于求冪的性質 aman = am + n，即特殊情況 f(x) = ax。

一般來說，對于任意一般（負數、非整數等）指數 m 和 n，這種關系稱為平移函數方程，參見。 施羅德方程和阿貝爾方程。 在對數標度上，這歸結為切比雪夫多項式的嵌套屬性 Tm(Tn(x)) = Tm n(x)，因為 Tn(x) = cos(n arccos(x))。

關系 (f m)n(x) = (f n)m(x) = f mn(x) 也成立，類似于指數的性質 (am)n = (an)m = amn。

函數序列 f n 稱為 Picard 序列，以 Charles émile Picard 的名字命名。

對于 X 中的給定 x，值序列 fn(x) 稱為 x 的軌道。

如果 f n (x) = f n+m (x) 對于某個整數 m，則該軌道稱為周期軌道。 對于給定的 x，最小的 m 值稱為軌道周期。 點 x 本身稱為周期點。 計算機科學中的周期檢測問題是尋找軌道中xxx個周期點和軌道周期的算法問題。

如果f(x) = x 對于X 中的某個x（即x 的軌道周期為1），則稱x 為迭代序列的不動點。 不動點集通常表示為 Fix(f)。 有許多不動點定理保證不動點在各種情況下的存在，包括Banach不動點定理和Brouwer不動點定理。

有幾種技術可以加速不動點迭代產生的序列的收斂。 例如，應用于迭代不動點的 Aitken 方法稱為 Steffensen 方法，并產生二次收斂。

迭代后，人們可能會發現有些集合會收縮并收斂到一個點。 在這種情況下，收斂到的點稱為吸引不動點。 相反，迭代可能會出現從單個點發散的點； 對于不穩定的固定點，情況就是如此。 當軌道上的點收斂到一個或多個極限時，軌道上的累積點集稱為極限集或ω-極限集。

吸引和排斥的概念具有相似的概括性； 根據迭代下小鄰域的行為，可以將迭代分為穩定集和不穩定集。 （另見解析函數的無限組合。）

其他限制行為也是可能的； 例如，漫游點是移動的點，即使靠近它們的起點也永遠不會回來。

如果考慮密度分布的演變，而不是單個點動力學的演變。