在數學中，在研究具有二維相空間的動力系統時，極限環是相空間中的一條閉合軌跡，其特性是隨著時間接近無窮大或時間接近負無窮大，至少有一條其他軌跡盤旋進入其中。 這種行為在一些非線性系統中表現出來。 極限環已被用于模擬許多現實世界振蕩系統的行為。 極限環的研究是由 Henri Poincaré (1854–1912) 發起的。

我們考慮形式為 x ′ ( t ) = V ( x ( t ) ) {displaystyle x'(t)=V(x(t))} 的二維動力系統，其中 V : R 2 → R 2 {displaystyle V:mathbb {R} {2}to mathbb {R} {2}} 是平滑函數。 這個系統的軌跡是一些平滑函數 x ( t ) {displaystyle x(t)} 其值在 R 2 {displaystyle mathbb {R} {2}} 滿足這個微分方程。 如果這樣的軌跡不是恒定的而是返回到它的起始點，即如果存在一些 t 0 >; 0 {displaystyle t_{0}>0} 使得 x ( t + t 0 ) = x ( t ) {displaystyle x(t+t_{0})=x(t)} 對于所有 t ∈ R {displaystyle tin mathbb {R} } 。 軌道是軌跡的圖像，是 R 2 {displaystyle mathbb {R} {2}} 的子集。 封閉軌道或循環是封閉軌跡的圖像。 極限環是一個環，它是一些其他軌跡的極限集。

根據若爾當曲線定理，每條閉合軌跡都將平面分為兩個區域，即曲線的內部和外部。

給定一個極限環和在其內部接近極限環的軌跡，時間接近 + ∞ {displaystyle +infty } ，那么在極限環周圍有一個鄰域，使得內部的所有軌跡從 鄰域逼近時間的極限環 + ∞ {displaystyle +infty } 。 相應的陳述適用于內部軌跡接近極限環的時間接近 ? ∞ {displaystyle -infty } ，也適用于外部接近極限環的軌跡。

當時間趨近于無窮大時所有相鄰軌跡都趨近極限環的情況，稱為穩定或有吸引力的極限環（ω-極限環）。 相反，如果隨著時間接近負無窮大，所有相鄰軌跡都接近它，那么它是一個不穩定的極限環（α-極限環）。 如果有一個相鄰的軌跡隨著時間接近無窮大而螺旋進入極限環，而另一個軌跡在時間接近負無窮大時螺旋進入它，那么它是一個半穩定的極限環。 還有一些極限環既不是穩定的，也不是不穩定的，也不是半穩定的：例如，一個相鄰的軌跡可能從外部接近極限環，但是極限環的內部被一族其他循環逼近（這不會 ' 是極限循環）。

穩定的極限環是吸引子的例子。 它們意味著自持振蕩：閉合軌跡描述了系統的完美周期行為，并且來自該閉合軌跡的任何小擾動都會導致系統返回到它，使系統堅持極限循環。

每個閉合軌跡在其內部都包含系統的一個靜止點，即點 p {displaystyle p} 其中 V ′ ( p ) = 0 {displaystyle V'(p)=0} 。 Bendixson-Dulac 定理和 Poincaré-Bendixson 定理分別預測了二維非線性動力系統的極限環的存在與否。

一般來說，尋找極限環是一個非常困難的問題。 平面內多項式微分方程的極限環數是希爾伯特第十六問題第二部分的主要研究對象。 例如，在平面上是否存在任何系統 x ′ = V ( x ) {displaystyle x'=V(x)} 是未知的，其中 V {displaystyle V} 的兩個分量都是二次多項式 這兩個變量，使得系統有超過 4 個極限環。

極限環在許多科學應用中很重要，在這些應用中，對具有自持振蕩的系統進行建模。 一些例子包括：

• 空氣動力學極限環振蕩
• 神經元動作電位的 Hodgkin-Huxley 模型。
• 糖酵解的 Sel'kov 模型。
• 動物的基因表達、激素水平和體溫的日常波動是晝夜節律的一部分，盡管這與最近的證據相矛盾。
• 癌細胞在受限微環境中的遷移遵循極限循環振蕩。
• 一些非線性電路表現出極限循環振蕩，這啟發了最初的 Van der Pol 模型。
• 控制呼吸和造血。