在數學中，動力系統的李亞普諾夫指數或李雅普諾夫特征指數是表征無限接近軌跡的分離率的量。 定量地，相空間中具有初始分離向量 δ Z 0 {displaystyle delta mathbf {Z} _{0}} 的兩條軌跡以給定的速率發散（前提是可以在線性化近似內處理發散） 經過

| δ Z ( t ) | ≈ e λ t | δ Z 0 | {displaystyle |delta mathbf {Z} (t)|approx e{lambda t}|delta mathbf {Z} _{0}|}

其中 λ {displaystyle lambda } 是李亞普諾夫指數。

對于初始分離矢量的不同方向，分離速率可以不同。 因此，存在李亞普諾夫指數的譜——數量等于相空間的維數。 通常將xxx的一個稱為xxx李亞普諾夫指數 (MLE)，因為它決定了動力系統的可預測性概念。 MLE 為正通常表示系統是混沌的（前提是滿足其他一些條件，例如相空間緊湊性）。 請注意，任意初始分離向量通常包含與 MLE 相關的方向上的某些分量，并且由于指數增長率，其他指數的影響將隨著時間的推移而消失。

該指數以亞歷山大·李亞普諾夫 (Aleksandr Lyapunov) 的名字命名。

極限 | δ Z 0 | → 0 {displaystyle |delta mathbf {Z} _{0}|to 0} 保證了線性逼近在任何時候的有效性。

對于離散時間系統（地圖或固定點迭代） x n + 1 = f ( x n ) {displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})} ，對于以 x 0 {displaystyle x_{0}} 這轉化

對于 n 維相空間中具有演化方程 x ˙ i = f i ( x ) {displaystyle {dot {x}}_{i}=f_{i}(x)} 的動力系統，譜 李亞普諾夫指數的

{ λ 1 , λ 2 , … , λ n } , {displaystyle {lambda _{1},lambda _{2},ldots ,lambda _{n}} ,,}

一般來說，取決于起點 x 0 {displaystyle x_{0}} 。 然而，我們通常會對動力系統的吸引子（或多個吸引子）感興趣，并且通常會有一組與每個吸引子相關聯的指數。 如果有多于一個，起點的選擇可以決定系統結束于哪個吸引子。 （對于沒有吸引子的哈密頓系統，這不是問題。）李亞普諾夫指數描述了向量在相空間的切線空間中的行為，并由雅可比矩陣定義

J i j ( t ) = d f i ( x ) d x j | x ( t ) {displaystyle J_{ij}(t)=left.{frac {df_{i}(x)}{dx_{j}}}right|_{x(t) }}

這個雅可比行列式定義了切線向量的演化，由矩陣 Y {displaystyle Y} 給出，通過方程

Y ˙ = J Y {displaystyle {dot {Y}}=JY}

初始條件 Y i j ( 0 ) = δ i j {displaystyle Y_{ij}(0)=delta _{ij}} 。 矩陣 Y {displaystyle Y} 描述了點 x ( 0 ) {displaystyle x(0)} 的微小變化如何傳播到最終點 x ( t ) {displaystyle x(t)} 。

定義一個矩陣 Λ {displaystyle Lambda }（極限存在的條件由 Oseledets 定理給出）。 李亞普諾夫指數 λ i {displaystyle lambda _{i}} 由 Λ {displaystyle Lambda } 的特征值定義。

對于動力系統的遍歷組件的幾乎所有起點，李亞普諾夫指數集將是相同的。

為了引入李亞普諾夫指數，考慮一個基本矩陣 X ( t ) {displaystyle X(t)}（例如，對于連續系統中的平穩解 x 0 {displaystyle x_{0}} 的線性化。