在數學和科學中，非線性系統是輸出的變化與輸入的變化不成比例的系統。 工程師、生物學家、物理學家、數學家和許多其他科學家對非線性問題很感興趣，因為大多數系統本質上都是非線性的。 與更簡單的線性系統形成對比的是，描述變量隨時間變化的非線性動力系統可能顯得混亂、不可預測或違反直覺。

通常，非線性系統的行為在數學中由非線性方程組描述，這是一組聯立方程，其中未知數（或微分方程中的未知函數）顯示為次數多項式的變量 高于一或在不是一階多項式的函數的參數中。換句話說，在非線性方程組中，要求解的方程不能寫成未知變量的線性組合或 它們中出現的函數。 系統可以被定義為非線性的，而不管已知的線性函數是否出現在方程中。 特別是，如果微分方程在未知函數及其導數方面是線性的，即使在其中出現的其他變量方面是非線性的，也是線性的。

由于非線性動力學方程難以求解，非線性系統通常用線性方程來近似（線性化）。 這在輸入值的一定精度和范圍內效果很好，但是一些有趣的現象，如孤子、混沌和奇異點被線性化隱藏了。 因此，非線性系統的動態行為的某些方面可能看起來是違反直覺的、不可預測的，甚至是混亂的。 盡管這種混亂行為可能類似于隨機行為，但實際上并不是隨機的。 例如，天氣的某些方面看起來很混亂，系統某一部分的簡單變化會產生復雜的影響。 這種非線性是當前技術不可能進行準確的長期預測的原因之一。

一些作者使用術語非線性科學來研究非線性系統。 其他人對這個詞有爭議：

使用像非線性科學這樣的術語就像將大部分動物學稱為對非大象動物的研究。

—>斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆

在數學中，線性映射（或線性函數） f ( x ) {displaystyle f(x)} 是滿足以下兩個屬性的映射：

• 可加性或疊加原理：f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ； {displaystyle textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}
• 均勻性：f ( α x ) = α f ( x ) 。 {displaystyle textstyle f(alpha x)=alpha f(x).}

可加性意味著任何有理數 α 的同質性，對于連續函數，也意味著任何實數 α 的同質性。 對于復數 α，可加性不符合同質性。 例如，非線性映射是可加的但不是齊次的。

一個等式寫成

f ( x ) = C {displaystyle f(x)=C}

如果 f ( x ) {displaystyle f(x)} 是線性映射（如上定義），則稱為線性映射，否則稱為非線性映射。 如果 C = 0 {displaystyle C=0} ，則該方程稱為齊次方程。

定義 f ( x ) = C {displaystyle f(x)=C} 非常普遍，因為 x {displaystyle x} 可以是任何合理的數學對象（數字、向量、函數等），并且 function f ( x ) {displaystyle f(x)} 字面上可以是任何映射，包括具有關聯約束（例如邊界值）的積分或微分。 如果 f ( x ) {displaystyle f(x)} 包含對 x {displaystyle x} 的微分，結果將是一個微分方程。

非線性代數方程，也稱為多項式方程，是通過使多項式（次數大于一）等于零來定義的。 例如，

x 2 + x ? 1 = 0 。 {displaystyle x{2}+x-1=0,.}

對于單個多項式方程，求根算法可用于找到方程的解（即，滿足方程的變量的值集）。 然而，代數方程組更復雜； 他們的研究是代數幾何領域的一個動機，代數幾何是現代數學的一個困難分支。 甚至很難確定給定的代數系統是否具有復雜的解決方案（參見希爾伯特的 Nullstellensatz）。 然而，對于具有有限數量復數解的系統，這些多項式方程組現在已得到很好的理解，并且存在求解它們的有效方法。

非線性遞歸關系將序列的連續項定義為非線性函數。