希爾伯特第 16 個問題是大衛·希爾伯特在 1900 年國際數學家大會巴黎會議上提出的，是他列出的 23 個數學問題之一。

最初的問題被提出為代數曲線和曲面的拓撲問題 (Problem der Topologie algebraischer Kurven und Fl?chen)。

實際上，該問題由數學不同分支中的兩個類似問題組成：

• 研究 n 次實代數曲線分支的相對位置（對于代數曲面也是如此）。
• n 次二維多項式向量場中極限環數上限的確定及其相對位置的研究。

n = 8 時xxx個問題尚未解決。因此，這個問題通常是在談論實代數幾何中的希爾伯特第十六題時所指的問題。 第二個問題也仍未解決：對于任何 n > 的情況，極限循環數的上限未知。 1，這就是希爾伯特第十六題在動力系統領域中通常的意思。

西班牙皇家數學學會發表了對希爾伯特第十六題的解釋。

1876 年，Harnack 研究了實射影平面中的代數曲線，發現 n 次曲線的長度不超過

n 2 ? 3 n + 4 2 {displaystyle {n{2}-3n+4 over 2}}

分離連接的組件。 此外，他展示了如何構建達到該上限的曲線，因此它是最佳可能的界限。 具有該數量組件的曲線稱為 M 曲線。

希爾伯特研究了 6 次 M 曲線，發現 11 個分量總是以某種方式分組。 他現在對數學界的挑戰是徹底研究 M 曲線分量的可能配置。

此外，他要求將 Harnack 曲線定理推廣到代數曲面，并對具有xxx分量數的曲面進行類似的研究。

在這里，我們將考慮實平面中的多項式矢量場，即以下形式的微分方程組：

d x d t = P ( x , y ) , d y d t = Q ( x , y ) {displaystyle {dx over dt}=P(x,y),qquad {dy over dt}=Q(x ,y)}

其中 P 和 Q 都是 n 次實數多項式。

龐加萊研究了這些多項式向量場，他產生了放棄尋找系統精確解的想法，而是試圖研究所有可能解集合的定性特征。

在眾多重要發現中，他發現此類解的極限集不必是駐點，而可以是周期解。 這樣的解決方案稱為極限環。

希爾伯特第 16 題的第二部分是確定 n 次多項式向量場中極限環數的上限，并且與xxx部分類似，研究它們的相對位置。

Yulii Ilyashenko 和 Jean écalle 在 1991/1992 年證明平面中的每個多項式向量場只有有限多個極限環（Henri Dulac 在 1923 年發表的一篇文章聲稱該陳述的證明在 1981 年被證明包含間隙） . 這個說法并不明顯，因為在具有無限多個同心極限環的平面上很容易構造光滑 (C∞) 向量場。

對于任何 n > n，是否存在 n 次平面多項式向量場的極限環數的有限上限 H(n) 的問題仍未解決。 1.（H(1) = 0，因為線性向量場沒有極限環。）Evgenii Landis 和 Ivan Petrovsky 在 1950 年代提出了一個解決方案，但在 1960 年代初期證明是錯誤的。 具有四個極限環的二次平面矢量場是已知的。 二次平面矢量場中四個極限環的數值可視化示例可以在 中找到。一般來說，通過數值積分估計極限環數量的困難是由于嵌套的極限環具有非常窄的吸引區域，這 是隱藏的吸引子和半穩定極限環。

希爾伯特在演講中提出了以下問題：

Harnack (Mathematische Annalen, 10) 確定了 n 次代數曲線的閉合分支和分離分支的上限； 由此產生了關于平面中分支的相對位置的進一步問題。至于 6 階曲線，我已經——誠然以一種相當復雜的方式——說服自己，根據哈納克，他們可以擁有 11 個分支 ，永遠不可能全部分開，而是必須存在一個分支，其中另一個分支在其內部運行，九個分支在其外部運行，或者相反。 在我看來，對 rel 的徹底調查。