在物理學中，拉格朗日力學是建立在靜止作用原理（也稱為最小作用原理）基礎上的經典力學公式。 它是由意大利-法國數學家和天文學家約瑟夫-路易斯·拉格朗日在他 1788 年的著作《分析力學》中引入的。

拉格朗日力學將機械系統描述為一對 ( M , L ) {textstyle (M,L)} 由配置空間 M {textstyle M} 和平滑函數 L {textstyle L} 組成 在那個稱為拉格朗日量的空間內。 按照慣例，L = T ? V , {textstyle L=T-V,} 其中 T {textstyle T} 和 V {displaystyle V} 分別是系統的動能和勢能。

平穩作用原理要求從 L {textstyle L} 導出的系統的作用泛函必須在系統的整個時間演化過程中保持在一個靜止點（xxx值、最小值或鞍點）。 此約束允許使用拉格朗日方程計算系統的運動方程。

假設有一個在電線上滑動的珠子，或一個擺動的單擺等。如果將每個大質量物體（珠子，擺錘等）作為一個粒子進行跟蹤，則使用牛頓力學計算粒子的運動 將需要解決使粒子保持受約束運動所需的時變約束力（鋼絲施加在珠子上的反作用力，或擺桿中的張力）。 對于使用拉格朗日力學的同一問題，我們可以查看粒子可以采取的路徑并選擇一組方便的獨立廣義坐標，這些坐標可以完全表征粒子的可能運動。 這種選擇消除了將約束力輸入方程組的需要。 方程式較少，因為沒有直接計算給定時刻約束對粒子的影響。

對于各種各樣的物理系統，如果一個大質量物體的大小和形狀可以忽略不計，將其視為點粒子是一種有用的簡化。 對于質量為 m1、m2、...、mN 的 N 個點粒子系統，每個粒子都有一個位置向量，表示為 r1、r2、...、rN。 笛卡爾坐標通常就足夠了，所以 r1 = (x1, y1, z1), r2 = (x2, y2, z2) 等等。 在三維空間中，每個位置向量需要三個坐標來xxx定義一個點的位置，所以有3N個坐標來xxx定義系統的配置。 這些都是空間中用于定位粒子的特定點； 空間中的一般點寫為 r = (x, y, z)。 每個粒子的速度是粒子沿其運動路徑移動的速度，并且是其位置的時間導數

在牛頓力學中，運動方程由牛頓定律給出。 第二定律凈力等于質量乘以加速度，∑ F = m d 2 r d t 2 {displaystyle sum mathbf {F} =m{frac {d{2}mathbf {r} }{dt {2}}}} 適用于每個粒子。 對于3維的N個粒子系統，需要求解粒子位置的3N個二階常微分方程。

拉格朗日力學不使用力，而是使用系統中的能量。 拉格朗日力學的中心量是拉格朗日函數，它是概括整個系統動力學的函數。 總體而言，拉格朗日量具有能量單位，但沒有適用于所有物理系統的單一表達式。 任何產生正確運動方程的函數，符合物理定律，都可以被視為拉格朗日函數。 盡管如此，仍然可以為大型應用程序構建通用表達式。 粒子系統的非相對論拉格朗日量可以定義為

L = T ? V {displaystyle L=T-V}

在哪里

T = 1 2 ∑ k = 1 N m k v k 2 {displaystyle T={frac {1}{2}}sum _{k=1}{N}m_{k}v_{k}{2 }}

是系統的總動能，等于粒子動能的總和 Σ，V 是系統的勢能。

動能是系統運動的能量，vk2 = vk·vk是速度的大小平方，相當于速度與自身的點積。 動能僅是速度 vk 的函數，而不是位置 rk 或時間 t 的函數，因此 T = T(v1, v2, ...)。

系統的勢能反映了粒子之間相互作用的能量，即由于所有其他粒子和其他外部影響，任何一個粒子將具有多少能量。 對于保守力（例如牛頓引力），它只是粒子位置矢量的函數，所以 V = V(r1, r2, ...)。 對于那些可以從適當的勢（例如電磁勢）導出的非保守力。