晶體學限制定理的基本形式是基于觀察到晶體的旋轉對稱性通常限于 2 重、3 重、4 重和 6 重。 然而，準晶體可能會出現其他衍射圖案對稱性，例如 5 重；

晶體被建模為離散晶格，由一系列獨立的有限平移生成。 因為離散性要求格點之間的間距有一個下界，所以格在任何點的旋轉對稱群必須是一個有限群（或者，該點是xxx允許無限旋轉對稱的系統）。 該定理的優勢在于并非所有有限群都與離散格兼容； 在任何維度上，我們都只有有限數量的兼容組。

2D（墻紙組）和3D（空間組）這兩個特例在應用中用的最多，可以放在一起處理。

維度 2 或維度 3 中的旋轉對稱必須將一個格點移動到同一平面中的一系列其他格點，從而生成共面格點的正多邊形。 現在，我們將注意力集中在對稱性起作用的平面上。

現在考慮 8 次旋轉，以及多邊形相鄰點之間的位移矢量。 如果任意兩個格點之間存在位移，則在格中各處重復相同的位移。 因此，收集所有邊緣位移以從單個格點開始。 邊緣向量變為徑向向量，它們的 8 重對稱意味著收集點周圍有一個正八邊形的格點。 但這是不可能的，因為新的八角形大約是原來的八角形的 80%。 收縮的意義在于它是無限的。 可以用新的八邊形重復相同的構造，一次又一次，直到格點之間的距離盡可能小； 因此，沒有離散格可以具有 8 重對稱性。 同樣的論點適用于任何 k 次旋轉，k 大于 6。

收縮參數也消除了 5 重對稱性。 考慮一個由格點組成的正五邊形。 如果它存在，那么我們可以每隔一個邊緣位移并（從頭到尾）組裝一個 5 點星，最后一個邊緣返回起點。 這樣一顆恒星的頂點也是具有 5 重對稱性的正五邊形的頂點，但比原來的小了約 60%。

這樣定理就得證了。

準晶體的存在表明線性平移的假設是必要的。 可能具有 5 重旋轉對稱性和離散格，并且 tiling 的任何局部鄰域都會重復無限次，但 tiling 整體上沒有線性平移。 并且在沒有離散格假設的情況下，上述構造不僅沒有達到矛盾，反而產生了一個（非離散的）反例。 因此，缺少任何一個假設的論證都不能消除 5 重旋轉對稱性。 然而，整個（無限）平面的 Penrose 平鋪只能具有關于單個點的（整個平鋪的）精確 5 重旋轉對稱，而 4 重和 6 重格子具有無限多個旋轉對稱中心。

考慮由平移向量 r 分隔的兩個格點 A 和 B。 考慮一個角度 α，使得角度 α 圍繞任何格子點的旋轉是格子的對稱性。 圍繞點 B 旋轉 α 將點 A 映射到新點 A'。 類似地，圍繞點 A 旋轉 α 可將 B 映射到點 B'。 由于提到的兩個旋轉都是對稱操作，因此 A' 和 B' 必須都是格點。

其中 M = m + 1 也是一個整數。 請記住| 余弦?α | ≤ 1 我們允許整數 M ∈ { ? 2 , ? 1 , 0 , 1 , 2 } 。 求解 α 的可能值表明在 0° 到 180° 范圍內的xxx值是 0°、60°、90°、120° 和 180°。