在幾何學中，點群是具有共同固定點的對稱運算（歐幾里得空間中的等距）的數學群。 歐幾里德空間的坐標原點通常取為一個不動點，那么維度d中的每個點群都是正交群O(d)的一個子群。 點群用于描述幾何圖形和分子等物理對象的對稱性。

每個點群都可以表示為一組正交矩陣 M，它們根據 y = Mx 將點 x 變換為點 y。 點群的每個元素要么是旋轉（M = 1 的行列式），要么是反射或不正確的旋轉（M = ?1 的行列式）。

晶體的幾何對稱性由空間群描述，空間群允許平移并包含點群作為子群。 多于一維的離散點群來自無限族，但根據晶體學限制定理和比伯巴赫定理之一，每個維數只有有限數量的點群，這些點群在某個晶格或網格上對稱 維數。 這些是晶體學點群。

點群可分為手性（或純旋轉）群和非手性群。手性群是特殊正交群 SO(d) 的子群：它們僅包含保向正交變換，即行列式 +1 的變換。 非手性群還包含行列式 ?1 的變換。 在非手性群中，保向變換形成指數為 2 的（手性）子群。

有限 Coxeter 群或反射群是那些純粹由一組穿過同一點的反射鏡生成的點群。

一維點群只有兩個，身份群和反射群。

二維點群，有時稱為玫瑰花狀群。

他們來自兩個無限的家庭：

• n次旋轉群的循環群Cn
• n次旋轉和反射群的二面體群Dn

應用晶體限制定理將兩個系列的 n 限制為值 1、2、3、4 和 6，從而產生 10 個組。

由 1 個或 2 個鏡子定義的純反射點組的子集，也可以由它們的 Coxeter 組和相關多邊形給出。 這些包括 5 個結晶組。 反射群的對稱性可以通過同構加倍，通過平分鏡將兩個反射鏡映射到彼此，使對稱階數加倍。

三維點群在研究分子對稱性時被廣泛使用，有時也稱為分子點群。

它們有 7 個無限系列的軸群（也稱為棱柱群）和 7 個額外的多面體群（也稱為柏拉圖群）。

將晶體學限制定理應用于這些群會產生 32 個晶體學點群。

當 Intl 條目重復時，xxx個用于偶數 n，第二個用于奇數 n。

由 1 到 3 個鏡面定義的反射點群，也可以由它們的 Coxeter 群和相關的多面體給出。 [3,3] 群可以加倍，寫作 [[3,3]]，將xxx個和最后一個鏡像相互映射，將對稱性加倍為 48，并與 [4,3] 群同構。

四維點群（手性和非手性）列于 Conway 和 Smith，第 4 節，

以下列表給出了四維反射群（不包括那些保留子空間固定且因此是低維反射群的反射群）。 每個群被指定為一個 Coxeter 群，并且像 3D 的多面體群一樣，它可以由其相關的凸正則 4-多面體命名。 相關的純旋轉群以半階存在，可以用帶'+'指數的括號 Coxeter 符號表示，例如 [3,3,3]+ 有三個 3 倍旋轉點和對稱階 60. 前后對稱群如 [3,3,3] 和 [3,4,3] 可以加倍。