在數學物理中，彎曲時空中的狄拉克方程是狄拉克方程從平坦時空（閔可夫斯基空間）到彎曲時空的推廣，一般洛倫茲流形。

完全一般來說，方程可以定義在 M {\displaystyle M} 或 ( M , g ) {\displaystyle (M,\mathbf {g} )} 一個偽黎曼流形上，但為了具體起見，我們限制為偽 - 具有簽名 ( ? + + + ) {\displaystyle (-+++)} 的黎曼流形。 該指標在抽象索引符號中稱為 g {\displaystyle \mathbf {g} } 或 g a b {\displaystyle g_{ab}} 。

vierbein 定義了一個局部靜止坐標系，允許常數 Gamma 矩陣作用于每個時空點。

在微分幾何語言中，vierbein 相當于標架叢的一部分，因此定義了標架叢的局部平凡化。

要寫下方程，我們還需要自旋連接，也稱為連接 (1-) 形式。 其中 ? a {\displaystyle \nabla _{a}} 是協變導數，或者等價地選擇標架叢上的連接，通常被認為是 Levi-Civita 連接。

應注意不要將抽象的拉丁索引和希臘索引視為相同，并進一步注意這兩者都不是坐標索引：可以驗證 ω μ ν a {\displaystyle \omega {\mu }{}_{\nu a}} 在坐標變化下不會轉換為張量。

在數學上，它們是從切線空間 T p M 定義的 {\displaystyle T_{p}M} 到 R 1 , 3 {\displaystyle \mathbb {R} {1,3}} 。 然后抽象索引標記切線空間，而希臘索引標記 R 1 , 3 {\displaystyle \mathbb {R} {1,3}} 。 如果框架場是位置相關的，那么希臘索引不一定會在坐標變化的情況下進行張量變換。

升高和降低指數是用 g a b {\displaystyle g_{ab}} 來完成的，對于拉丁指數和 η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu }} 對于希臘指數。

連接形式可以看作是主叢上的更抽象的連接，特別是框架叢上的連接，它定義在任何光滑流形上，但僅限于偽黎曼流形上的正交框架叢。

關于局部定義的框架域 { e μ } {\displaystyle \{e_{\mu }\}} 的連接形式，在微分幾何語言中，是關于局部平凡化的連接。

正如平坦時空的狄拉克方程一樣，我們利用克利福德代數

它們可用于構造洛倫茲代數的表示

其中 [ ? , ? ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} 是換向器。

可以證明它們滿足洛倫茲代數的對換關系