在幾何學中，旋轉立體是通過將平面圖形繞位于同一平面上的某條直線（旋轉軸）旋轉而得到的立體圖形。 由這個xxx創造的并且限制固體的表面是xxx的表面。

假設曲線不與軸相交，則實體的體積等于圖形質心所描述的圓的長度乘以圖形的面積（帕普斯第二質心定理）。

代表性圓盤是旋轉體的三維體積元素。 該元素是通過繞某個軸（距離 r 個單位）旋轉一條線段（長度為 w）來創建的，因此包含一個 πr2w 個單位的圓柱體。

求旋轉體體積的兩種常用方法是圓盤積分法和殼積分法。 要應用這些方法，最簡單的方法是繪制有問題的圖形； 確定要圍繞旋轉軸旋轉的區域； 確定厚度為 δx 的圓盤形固體切片或寬度為 δx 的圓柱殼的體積； 然后找到當 δx 接近 0 時這些體積的極限和，該值可以通過評估合適的積分找到。 通過嘗試評估具有兩個不同積分階數的圓柱坐標系中的三重積分，可以給出更嚴格的理由。

當繪制的切片垂直于旋轉軸時，使用圓盤法； 即平行于旋轉軸積分時。

通過圍繞 y 軸旋轉 f(y) 和 g(y) 曲線與直線 y = a 和 y = b 之間的區域而形成的固體體積由下式給出

V = π ∫ a b | f ( y ) 2 ? g ( y ) 2 | 是的。 {\displaystyle V=\pi \int _{a}{b}\left|f(y){2}-g(y){2}\right|\,dy\,. }

如果 g(y) = 0（例如，旋轉曲線和 y 軸之間的區域），則簡化為：

V = π ∫ a b f ( y ) 2 d y 。 {\displaystyle V=\pi \int _{a}{b}f(y){2}\,dy\,.}

該方法可以通過考慮在頂部的 f(y) 和底部的 g(y) 之間的 y 處的細水平矩形并繞 y 軸旋轉來可視化； 它形成一個環（或在 g(y) = 0 的情況下為圓盤），外徑為 f(y)，內徑為 g(y)。 環的面積為 π(R2 ? r2)，其中 R 是外半徑（在本例中為 f(y)），r 是內半徑（在本例中為 g(y)）。 因此，每個無窮小圓盤的體積為 πf(y)2 dy。 a 和 b 之間的圓盤體積的黎曼和的極限變為積分 (1)。

假設富比尼定理和多變量變量變化公式的適用性，圓盤法可以直接推導出來（將固體表示為 D）：

V = ? D d V = ∫ a b ∫ g ( z ) f ( z ) ∫ 0 2 π r d θ d r d z = 2 π ∫ a b ∫ g ( z ) f ( z ) r d r d z = 2 π ∫ a b 1 2 r 2 ‖ g ( z ) f ( z ) d z = π ∫ a b f ( z ) 2 ? g ( z ) 2 d z {\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}{b} int _{g(z)}{f(z)}\int _{0}{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi int _{a}{b}\int _{g(z)}{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}{b}{ \frac {1}{2}}r{2}\Vert _{g(z)}{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}{b}f( z){2}-g(z){2}\,dz}

當繪制的切片平行于旋轉軸時，使用圓柱方法； 即垂直于旋轉軸積分時。

通過繞 y 軸旋轉 f(x) 和 g(x) 曲線與直線 x = a 和 x = b 之間的區域形成的固體體積由下式給出

V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) ? g ( x ) | d x 。 {\displaystyle V=2\pi \int _{a}{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}

如果 g(x) = 0（例如，旋轉曲線和 y 軸之間的區域），這將簡化為：

V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) | d x 。 {\displaystyle V=2\pi \int _{a}{b}x|f(x)|\,dx\,.}

該方法可以通過在 x 處考慮一個高度為 f(x) ? g(x) 的薄垂直矩形并繞 y 軸旋轉來形象化； 它形成一個圓柱殼。 圓柱體的側面積為 2πrh，其中 r 是半徑（在本例中為 x），h 是高度（在本例中為 f(x) ? g(x)）。 將沿區間的所有表面積相加得出總體積。

這種方法可以用相同的三重積分推導出來，這次用不同的積分順序：

V = ? D d V = ∫ a b ∫ g ( r ) f ( r ) ∫ 0 2 π r d θ d z d r = 2 π ∫ a b ∫ g ( r ) f ( r ) r d z d r = 2 π ∫ a b r ( f ( r ) ? g ( r ) ) d r 。 {\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}{b}\int _{g(r)}{f(r)}\int _{0}{2 \pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}{b}\int _{g(r)}{f(r) }r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}

旋轉體示范

當曲線由其參數形式 (x(t),y(t)) 在某個區間 [a,b] 中定義時，通過圍繞 x 軸或 y 軸旋轉曲線生成的固體的體積是 由

V x = ∫ a b π y 2 d x d t d t , {\displaystyle V_{x}=\int _{a}{b}\pi y{2}\,{\frac {dx}{dt}} \,dt\,