• 徑向分布函數

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    徑向分布函數

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    統計力學中,粒子系統原子分子膠體等)中的徑向分布函數(或對相關函數) g ( r ) {\displaystyle g(r)} 描述了密度如何隨著 與參考粒子距離的函數。

    如果給定粒子位于原點 O,并且 ρ = N / V {\displaystyle \rho =N/V} 是粒子的平均數密度,那么在一定距離處的局部時間平均密度 來自 O 的 r {\displaystyle r} 是 ρ g ( r ) {\displaystyle \rho g(r)} 。 這個簡化的定義適用于均勻和各向同性的系統。 下面將考慮更一般的情況。

    用最簡單的術語來說,它是衡量相對于理想氣體而言,在距給定參考粒子 r {\displaystyle r} 距離處找到粒子的概率。 一般算法涉及確定有多少粒子在 r {\displaystyle r} 和 r + d r {\displaystyle r+dr} 距離內。 這個一般主題描繪在右邊,其中紅色粒子是我們的參考粒子,藍色粒子是那些中心在圓形殼內的粒子,以橙色點綴。

    徑向分布函數通常通過計算所有粒子對之間的距離并將它們合并成直方圖來確定。 然后將直方圖相對于理想氣體歸一化,其中粒子直方圖完全不相關。 對于三個維度,這種歸一化是系統的數密度 ( ρ ) {\displaystyle (\rho )} 乘以球殼的體積,它可以象征性地表示為 ρ 4 π r 2 d r {\ 顯示樣式 \rho \,4\pi r{2}dr} 。

    給定勢能函數,徑向分布函數可以通過計算機模擬方法(如蒙特卡羅方法)或通過 Ornstein-Zernike 方程計算,使用近似閉合關系(如 Percus-Yevick 近似或超網鏈理論)。 它也可以通過實驗確定,通過輻射散射技術或通過傳統或共聚焦顯微鏡對足夠大(微米大小)的粒子進行直接可視化

    徑向分布函數非常重要,因為它可以使用 Kirkwood–Buff 解理論,將微觀細節與宏觀特性聯系起來。 此外,通過Kirkwood-Buff理論的逆推,可以從宏觀性質獲得徑向分布函數的微觀細節。

    定義

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    考慮一個由 N {\displaystyle N} 粒子組成的系統,體積為 V {\displaystyle V}(對于平均數密度 ρ = N / V {\displaystyle \rho =N/V} )和溫度 T {\displaystyle T} (讓我們也定義 β = 1 k T {\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}} )。 粒子坐標為 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} ,其中 i = 1 , … , N {\displaystyle \textstyle i=1,\,\ldots ,\, N}。 粒子間相互作用產生的勢能為 U N ( r 1 … , r N ) {\displaystyle \textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\ ,\mathbf {r} _{N})} 并且我們不考慮外加場的情況。

    在規范系綜 ( N , V , T ) {\displaystyle (N,V,T)} 中取適當的平均值,其中 Z N = ∫ ? ∫ e ? β U N d r 1 ? d r N {\displaystyle \ textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} {-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}} 構形積分,接管了粒子位置的所有可能組合。 基本配置的概率,即在 d r 1 {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}} 中找到粒子 1,在 d r 2 {\displaystyle \ textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{2}} 等由下式給出

    (1)

    粒子總數巨大,以至于 P ( N ) {\displaystyle P{(N)}} 本身不是很有用。 然而,也可以獲得簡化配置的概率,其中只有 n < 1 的位置。 N {\displaystyle n<N} 個粒子是固定的,在 r 1 … , r n {\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf { r} _{n}} ,對剩余的 N ? n {\displaystyle N-n} 粒子沒有限制。 為此,必須在剩余坐標 r n + 1 … , r N {\displaystyle \mathbf {r} _{n+1}\,\ldots ,\,\ mathbf {r} _{N}} :

    徑向分布函數

    P ( n ) ( r 1 , … , r n ) = 1 Z N ∫ ? ∫ e ? β U N d 3 r n + 1 ? d 3 r N {\displaystyle P{(n)}(\mathbf {r} _ {1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {1}{Z_{N}}}\int \cdots \int \mathrm {e} { -\beta U_{N}}\,\mathrm {d} {3}\mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} {3}\mathbf {r } _{N}\,} 。

    如果粒子是非相互作用的,在每個粒子的勢能不依賴于任何其他粒子的意義上,U N ( r 1 , … , r N ) = ∑ i = 1 N U 1 ( r i ) { textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1},\點

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    2. 定義

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