在量子物理學中，測量是對物理系統進行測試或操作以產生數值結果。 量子物理學所做的預測通常是概率性的。 用于預測可能發生的測量結果的數學工具是在 20 世紀開發的，并利用了線性代數和泛函分析。

量子物理學已被證明是經驗上的成功，并具有廣泛的適用性。 然而，在更哲學的層面上，關于測量概念的意義的爭論仍在繼續。

在量子力學中，每個物理系統都與一個希爾伯特空間相關聯，其中的每個元素代表物理系統的一種可能狀態。 這些可觀察量扮演著經典物理學中熟悉的可測量量的角色：位置、動量、能量、角動量等。 希爾伯特空間的維數可能是無限大的，因為它是直線上平方可積函數的空間，用來定義連續自由度的量子物理學。許多對該理論的處理都集中在有限維的情況下，因為所涉及的數學要求不高。 事實上，關于量子力學的介紹性物理文本經常掩蓋連續值可觀察量和無限維希爾伯特空間出現的數學技術細節，例如有界和無界算子之間的區別； 收斂性問題（希爾伯特空間元素序列的極限是否也屬于希爾伯特空間），特征值集的奇異可能性，如康托爾集； 等等。

馮·諾依曼可觀測值的特征向量形成希爾伯特空間的正交基，并且該測量的每個可能結果對應于構成基的向量之一。 密度算子是 Hilbert 空間上的半正定算子，其跡等于 1。對于可以定義的每個測量，可以從密度算子計算該測量結果的概率分布。

其中 ρ {\displaystyle \rho } 是密度算子，而 Π i {\displaystyle \Pi _{i}} 是投影算子到對應于測量結果 x i {\displaystyle x_{ 一世}} 。 馮·諾依曼可觀測值的特征值的平均值，由玻恩規則概率加權，是該可觀測值的期望值。

作為 rank-1 投影的密度算子被稱為純量子態，所有不純的量子態都被指定為混合態。 純態也稱為波函數。 將純態分配給量子系統意味著對該系統的某些測量結果的確定性（即 P ( x ) = 1 {\displaystyle P(x)=1} 對于某些結果 x {\displaystyle x} ） . 任何混合狀態都可以寫成純狀態的凸組合，盡管不是xxx的方式。 量子系統的狀態空間是可以分配給它的所有純態和混合態的集合。

玻恩規則將概率與希爾伯特空間中的每個單位向量相關聯，這樣一來，對于包含正交基的任何一組單位向量，這些概率總和為 1。 此外，與單位向量相關的概率是密度算子和單位向量的函數，而不是附加信息的函數，例如選擇要嵌入的向量的基礎。

格里森定理建立了相反的結論：所有賦值 滿足這些條件的單位向量（或等價地，投射到它們上的算子）的概率采用將玻恩規則應用于某些密度算子的形式。

在泛函分析和量子測量理論中，正算子值測度 (POVM) 是一種測度，其值為希爾伯特空間上的半正定算子。 POVM 是投影值測量 (PVM) 的推廣，相應地，POVM 描述的量子測量是 PVM 描述的量子測量的推廣。