在量子力學中，斯萊特行列式是描述多費米子系統波函數的表達式。 它通過在交換兩個電子（或其他費米子）時改變符號來滿足反對稱性要求，從而滿足泡利原理。 所有可能的費米子波函數中只有一小部分可以寫成單個斯萊特行列式，但由于它們的簡單性，它們構成了一個重要且有用的子集。

斯萊特行列式源于對電子集合的波函數的考慮，每個電子都有一個稱為自旋軌道 χ ( x ) {\displaystyle \chi (\mathbf {x} )} ，其中 x {\displaystyle \mathbf {x} } 表示單個電子的位置和自旋。 包含兩個具有相同自旋軌道的電子的斯萊特行列式對應于處處為零的波函數。

斯萊特行列式以 John C. Slater 的名字命名，他于 1929 年引入行列式作為確保多電子波函數反對稱性的一種手段，盡管行列式形式的波函數首先獨立出現在海森堡的 和狄拉克三年前的文章。

近似多個粒子系統波函數的最簡單方法是采用正確選擇的單個顆粒正交波函數的乘積。 對于坐標為 x 1 {\displaystyle \mathbf {x} _{1}} 和 x 2 {\displaystyle \mathbf {x} _{2}} 的雙粒子情況，我們有

ψ ( x 1 , x 2 ) = χ 1 ( x 1 ) χ 2 ( x 2 ) 。 {\displaystyle \Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\chi _{1}(\mathbf {x} _{1}) \chi _{2}(\mathbf {x} _{2}).}

該表達式在 Hartree 方法中用作多粒子波函數的模擬，稱為 Hartree 積。 然而，對于費米子來說并不令人滿意，因為上面的波函數在任意兩個費米子交換下都不是反對稱的，因為它必須根據泡利不相容原理。 反對稱波函數可以在數學上描述如下：

ψ ( x 1 , x 2 ) = ? ψ ( x 2 , x 1 ) 。 {\displaystyle \Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=-\Psi (\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}).}

這不適用于 Hartree 積，因此不滿足 Pauli 原理。 這個問題可以通過對兩個 Hartree 產品進行線性組合來解決：

Ψ ( x 1 , x 2 ) = 1 2 { χ 1 ( x 1 ) χ 2 ( x 2 ) ? χ 1 ( x 2 ) χ 2 ( x 1 ) } = 1 2 | χ 1 ( x 1 ) χ 2 ( x 1 ) χ 1 ( x 2 ) χ 2 ( x 2 ) | , {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})&={\frac {1}{ sqrt {2}}}\{\chi _{1}(\mathbf {x} _{1})\chi _{2}(\mathbf {x} _{2})- chi _{1}(\mathbf {x} _{2})\chi _{2}(\mathbf {x} _{1})\}\\&={\ frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{vmatrix}\chi _{1}(\mathbf {x} _{1})&\chi _{2}( mathbf {x} _{1})\\\chi _{1}(\mathbf {x} _{2})&\chi _{2}(\mathbf {x} _ {2})\end{vmatrix}},\end{對齊}}}

其中系數是歸一化因子。 這個波函數現在是反對稱的，不再區分費米子（即不能為特定粒子指示序數，給出的指數可以互換）。 此外，如果兩個費米子的任意兩個自旋軌道相同，它也會趨于零。 這相當于滿足泡利不相容原理。

通過將其寫為行列式，可以將該表達式推廣到任意數量的費米子。 對于 N 電子系統，斯萊特行列式定義為

Ψ ( x 1 , x 2 , … , x N ) = 1 N ! | χ 1 ( x 1 ) χ 2 ( x 1 ) ? χ N ( x 1 ) χ 1 ( x 2 ) χ 2 ( x 2 ) ? χ N ( x 2 ) ? ? ? ? χ 1 ( x N ) χ 2 ( x N ) ? χ N ( x N ) | ≡ | χ 1 , χ 2 , ? , χ N ? ≡ | 1 , 2 , … , N ? , {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots , \mathbf {x} _{N})&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\chi _{1}(\mathbf { x} _{1})&\chi _{2}(\mathbf {x} _{1})&\cdots &\chi _{N}(\mathbf {x} _ {1})\\\chi _{1}(\mathbf {x} _{2})&\chi _{2}(\mathbf {x} _{2})& \cdots &\chi _{N}(\mathbf {x} _{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \chi _{1}(\mathbf {x} _{N})&\chi _{2}(\mathbf {x} _{N})&\cdots &\chi _{N}(\mathbf {x} _{N})\end{vmatrix}}\\&\equiv |\chi _{1},\chi _{2}, cdots ,\chi _{N}\rangle \\&\equiv |1,2,\dots ,N\rangle ,\end{aligned}}}

其中最后兩個表達式使用斯萊特行列式的簡寫：通過標記數字 N 來隱含歸一化常數，并且僅寫入單粒子波函數（xxx個簡寫）或費米子坐標的索引（第二個簡寫） 吃下。 所有跳過的標簽都暗示按升序排列。 對于二粒子情況，Hartree 積的線性組合與 N = 2 的斯萊特行列式相同。斯萊特行列式的使用確保了一開始的反對稱函數。