諧振子

在經典力學中，諧振子是一個系統，當它從平衡位置發生位移時，會受到與位移 x 成正比的恢復力 F：F → = ? k x → , {\\displaystyle {\\vec {F}}= -k{\\vec {x}},} 其中 k 是正常數。

如果 F 是作用在系統上的xxx力，則系統稱為簡諧振子，它進行簡諧振動：關于平衡點的正弦振蕩，具有恒定的振幅和恒定的頻率（不依賴于振幅 ).

如果還存在與速度成正比的摩擦力（阻尼），則諧振子被描述為阻尼振蕩器。 根據摩擦系數，系統可以：

• 以低于無阻尼情況下的頻率振蕩，并且振幅隨時間減小（欠阻尼振蕩器）。
• 衰減到平衡位置，沒有振蕩（過阻尼振蕩器）。

欠阻尼振蕩器和過阻尼振蕩器之間的邊界解出現在特定的摩擦系數值處，稱為臨界阻尼。

如果存在外部時間相關力，則諧波振蕩器被描述為驅動振蕩器。

機械示例包括擺（具有小位移角度）、連接到彈簧的質量和聲學系統。 其他類似系統包括電諧波振蕩器，例如 RLC 電路。 諧振子模型在物理學中非常重要，因為任何質量在穩定平衡中受到力的作用都作為微小振動的諧振子。 諧振子在自然界中廣泛存在，并在許多人造設備中得到利用，例如時鐘和無線電電路。 它們幾乎是所有正弦振動和波的來源。

簡諧振子

簡諧振子是一種既沒有驅動也沒有阻尼的振蕩器。 它由質量 m 組成，該質量受到單個力 F，該力將質量拉向點 x = 0 的方向，并且僅取決于質量的位置 x 和常數 k。 系統的力平衡（牛頓第二定律）為 F = m a = m d 2 x d t 2 = m x ¨ = ? k x 。 {\\displaystyle F=ma=m{\\frac {\\mathrm {d} {2}x}{\\mathrm {d} t{2}}}=m{\\ddot {x}}=- kx.}

求解這個微分方程，我們發現運動由函數 x ( t ) = A cos ? ( ω t + φ ) , {\\displaystyle x(t)=A\\cos(\\omega t+\\ varphi ),} 其中 ω = k m 。 {\\displaystyle \\omega ={\\sqrt {\\frac {k}{m}}}。}

運動是周期性的，以恒定振幅 A 以正弦方式重復自身。除了振幅之外，簡諧振子的運動的特征在于其周期 T = 2 π / ω {\\displaystyle T=2\\pi /\\omega } ，單次振蕩的時間或其頻率 f = 1 / T {\\displaystyle f=1/T} ，單位時間內的周期數。 給定時間 t 的位置還取決于相位 φ，它決定了正弦波的起點。 周期和頻率由質量 m 的大小和力常數 k 決定，而幅度和相位由起始位置和速度決定。

簡諧振子的速度和加速度以與位置相同的頻率振蕩，但相位不同。 零位移時速度xxx，而加速度的方向與位移相反。

在位置 x 處存儲在簡諧振子中的勢能是 U = 1 2 k x 2 。 {\\displaystyle U={\\tfrac {1}{2}}kx{2}。}

阻尼諧振子

在真實的振蕩器中，摩擦或阻尼會減慢系統的運動。 由于摩擦力，速度與作用的摩擦力成比例地減小。 在簡單的無驅動諧振子中，作用在質量上的xxx力是恢復力，而在阻尼諧振子中，另外還有一個摩擦力，該摩擦力始終與運動相反。 在許多振動系統中，摩擦力 Ff 可以建模為與物體的速度 v 成正比：Ff = ?cv，其中 c 稱為粘性阻尼系數。