哈密頓系統是由哈密頓方程控制的動力系統。 在物理學中，這個動力系統描述了物理系統的演化，例如行星系統或電磁場中的電子。 這些系統可以在哈密頓力學和動力系統理論中進行研究。

非正式地，哈密頓系統是由漢密爾頓開發的一種數學形式體系，用于描述物理系統的演化方程。 這種描述的優點是它提供了對動力學的重要見解，即使初始值問題無法解析解決。 一個例子是三體的行星運動：雖然一般問題沒有封閉形式的解決方案，但龐加萊首次表明它表現出確定性混沌。

形式上，哈密頓系統是以標量函數 H ( q , p , t ) {\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)} ，也稱為哈密頓量。 系統狀態 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} 由廣義坐標 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} 和 q {\displaystyle {\ boldsymbol {q}}} ，分別對應廣義動量和位置。 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} 和 q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} 都是具有相同維度 N 的實值向量。因此，狀態完全由 2N維向量

r = ( q , p ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}

如果哈密頓量不是顯式時間相關的，即如果 H ( q , p , t ) = H ( q , p ) {\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}} ,t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})} ，那么哈密頓量根本不隨時間變化：

因此哈密頓量是一個運動常數，其常數等于系統的總能量：H = E {\displaystyle H=E} 。 這種系統的例子有無阻尼擺、諧振子和動力臺球。

與時間無關的哈密頓系統的一個例子是諧振子。 考慮由坐標 p = m x ˙ {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}} 和 q = x {\displaystyle {\boldsymbol {q}} =x}。 然后哈密頓量由下式給出

H = p 2 2 米 + k q 2 2 。 {\displaystyle H={\frac {p{2}}{2m}}+{\frac {kq{2}}{2}}。}

該系統的哈密頓量不依賴于時間，因此系統的能量守恒。

哈密頓動力系統的一個重要特性是它具有辛結構。

IN是N×N單位矩陣。

這一特性的一個重要結果是保留了無窮小的相空間體積。 其推論是 Liouville 定理，該定理指出在哈密頓系統上，封閉曲面的相空間體積在時間演化過程中保持不變。